Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124067 / 26017
↖ ↑ ↗
← N 72.892994°
E160.760193°		 ← 89.84 m → N 72.892994°
E160.762940°		 →
↑
89.83 m
↓
↑
89.83 m
↓
N 72.892186°
E160.760193°		 ← 89.85 m →
8 071 m²		 N 72.892186°
E160.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946559906005859 y=0.198497772216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946559906005859 × 217)
    floor (0.946559906005859 × 131072)
    floor (124067.5)     		tx = 124067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198497772216797 × 217)
    floor (0.198497772216797 × 131072)
    floor (26017.5)     		ty = 26017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124067 / 26017 ti = "17/124067/26017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124067/26017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124067 ÷ 217
    124067 ÷ 131072     		x = 0.946556091308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26017 ÷ 217
    26017 ÷ 131072     		y = 0.198493957519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946556091308594 × 2 - 1) × π
    0.893112182617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.80579467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198493957519531 × 2 - 1) × π
    0.603012084960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.894418336085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80579467} λ = 2.80579467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.894418336085))-π/2
    2×atan(6.64867998245296)-π/2
    2×1.4215095370782-π/2
    2.8430190741564-1.57079632675     		φ = 1.27222275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80579467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.760193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27222275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.892994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124067 KachelY 26017 2.80579467 1.27222275 160.760193 72.892994
    Oben rechts KachelX + 1 124068 KachelY 26017 2.80584261 1.27222275 160.762940 72.892994
    Unten links KachelX 124067 KachelY + 1 26018 2.80579467 1.27220865 160.760193 72.892186
    Unten rechts KachelX + 1 124068 KachelY + 1 26018 2.80584261 1.27220865 160.762940 72.892186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27222275-1.27220865) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dl = 89.8311000001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27222275-1.27220865) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dr = 89.8311000001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80579467-2.80584261) × cos(1.27222275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294157192341741 × 6371000     		do = 89.8431781472397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80579467-2.80584261) × cos(1.27220865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294170668486961 × 6371000     		du = 89.8472941088657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27222275)-sin(1.27220865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294157192341741-0.294170668486961)×R²
    abs(2.80584261-2.80579467)×1.34761452196819e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34761452196819e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34761452196819e-05×40589641000000     		ar = 8070.89639142842m²