Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124067 / 26015
↖ ↑ ↗
← N 72.894610°
E160.760193°		 ← 89.83 m → N 72.894610°
E160.762940°		 →
↑
89.83 m
↓
↑
89.83 m
↓
N 72.893802°
E160.760193°		 ← 89.84 m →
8 070 m²		 N 72.893802°
E160.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946559906005859 y=0.198482513427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946559906005859 × 217)
    floor (0.946559906005859 × 131072)
    floor (124067.5)     		tx = 124067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198482513427734 × 217)
    floor (0.198482513427734 × 131072)
    floor (26015.5)     		ty = 26015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124067 / 26015 ti = "17/124067/26015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124067/26015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124067 ÷ 217
    124067 ÷ 131072     		x = 0.946556091308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26015 ÷ 217
    26015 ÷ 131072     		y = 0.198478698730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946556091308594 × 2 - 1) × π
    0.893112182617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.80579467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198478698730469 × 2 - 1) × π
    0.603042602539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.89451420988424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80579467} λ = 2.80579467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89451420988424))-π/2
    2×atan(6.64931744722041)-π/2
    2×1.42152363741609-π/2
    2.84304727483217-1.57079632675     		φ = 1.27225095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80579467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.760193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27225095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.894610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124067 KachelY 26015 2.80579467 1.27225095 160.760193 72.894610
    Oben rechts KachelX + 1 124068 KachelY 26015 2.80584261 1.27225095 160.762940 72.894610
    Unten links KachelX 124067 KachelY + 1 26016 2.80579467 1.27223685 160.760193 72.893802
    Unten rechts KachelX + 1 124068 KachelY + 1 26016 2.80584261 1.27223685 160.762940 72.893802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27225095-1.27223685) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dl = 89.8311000001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27225095-1.27223685) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dr = 89.8311000001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80579467-2.80584261) × cos(1.27225095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29413023987586 × 6371000     		do = 89.8349461704032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80579467-2.80584261) × cos(1.27223685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29414371613804 × 6371000     		du = 89.8390621677519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27225095)-sin(1.27223685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29413023987586-0.29414371613804)×R²
    abs(2.80584261-2.80579467)×1.34762621797901e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34762621797901e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34762621797901e-05×40589641000000     		ar = 8070.15690537417m²