Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124066 / 26018
↖ ↑ ↗
← N 72.892186°
E160.757446°		 ← 89.85 m → N 72.892186°
E160.760193°		 →
↑
89.89 m
↓
↑
89.89 m
↓
N 72.891378°
E160.757446°		 ← 89.85 m →
8 077 m²		 N 72.891378°
E160.760193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946552276611328 y=0.198505401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946552276611328 × 217)
    floor (0.946552276611328 × 131072)
    floor (124066.5)     		tx = 124066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198505401611328 × 217)
    floor (0.198505401611328 × 131072)
    floor (26018.5)     		ty = 26018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124066 / 26018 ti = "17/124066/26018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124066/26018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124066 ÷ 217
    124066 ÷ 131072     		x = 0.946548461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26018 ÷ 217
    26018 ÷ 131072     		y = 0.198501586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946548461914062 × 2 - 1) × π
    0.893096923828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80574673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198501586914062 × 2 - 1) × π
    0.602996826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89437039918538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80574673} λ = 2.80574673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89437039918538))-π/2
    2×atan(6.64836127298707)-π/2
    2×1.42150248642472-π/2
    2.84300497284944-1.57079632675     		φ = 1.27220865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80574673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.757446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27220865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.892186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124066 KachelY 26018 2.80574673 1.27220865 160.757446 72.892186
    Oben rechts KachelX + 1 124067 KachelY 26018 2.80579467 1.27220865 160.760193 72.892186
    Unten links KachelX 124066 KachelY + 1 26019 2.80574673 1.27219454 160.757446 72.891378
    Unten rechts KachelX + 1 124067 KachelY + 1 26019 2.80579467 1.27219454 160.760193 72.891378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27220865-1.27219454) × R
    1.41099999999561e-05 × 6371000     		dl = 89.8948099997203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27220865-1.27219454) × R
    1.41099999999561e-05 × 6371000     		dr = 89.8948099997203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80574673-2.80579467) × cos(1.27220865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294170668486961 × 6371000     		do = 89.8472941088657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80574673-2.80579467) × cos(1.27219454) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294184154131184 × 6371000     		du = 89.8514129717319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27220865)-sin(1.27219454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294170668486961-0.294184154131184)×R²
    abs(2.80579467-2.80574673)×1.34856442231546e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34856442231546e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34856442231546e-05×40589641000000     		ar = 8076.99056528884m²