Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124063 / 26013
↖ ↑ ↗
← N 72.896226°
E160.749206°		 ← 89.83 m → N 72.896226°
E160.751953°		 →
↑
89.83 m
↓
↑
89.83 m
↓
N 72.895418°
E160.749206°		 ← 89.83 m →
8 069 m²		 N 72.895418°
E160.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946529388427734 y=0.198467254638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946529388427734 × 217)
    floor (0.946529388427734 × 131072)
    floor (124063.5)     		tx = 124063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198467254638672 × 217)
    floor (0.198467254638672 × 131072)
    floor (26013.5)     		ty = 26013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124063 / 26013 ti = "17/124063/26013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124063/26013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124063 ÷ 217
    124063 ÷ 131072     		x = 0.946525573730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26013 ÷ 217
    26013 ÷ 131072     		y = 0.198463439941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946525573730469 × 2 - 1) × π
    0.893051147460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.80560292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198463439941406 × 2 - 1) × π
    0.603073120117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.89461008368348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80560292} λ = 2.80560292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89461008368348))-π/2
    2×atan(6.64995497310695)-π/2
    2×1.42153773646198-π/2
    2.84307547292396-1.57079632675     		φ = 1.27227915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80560292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.749206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27227915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.896226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124063 KachelY 26013 2.80560292 1.27227915 160.749206 72.896226
    Oben rechts KachelX + 1 124064 KachelY 26013 2.80565086 1.27227915 160.751953 72.896226
    Unten links KachelX 124063 KachelY + 1 26014 2.80560292 1.27226505 160.749206 72.895418
    Unten rechts KachelX + 1 124064 KachelY + 1 26014 2.80565086 1.27226505 160.751953 72.895418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27227915-1.27226505) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dl = 89.8311000001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27227915-1.27226505) × R
    1.41000000000169e-05 × 6371000     		dr = 89.8311000001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80560292-2.80565086) × cos(1.27227915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294103287176075 × 6371000     		do = 89.8267141221264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80560292-2.80565086) × cos(1.27226505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294116763555204 × 6371000     		du = 89.8308301551944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27227915)-sin(1.27226505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294103287176075-0.294116763555204)×R²
    abs(2.80565086-2.80560292)×1.34763791292403e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34763791292403e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34763791292403e-05×40589641000000     		ar = 8069.4174130549m²