Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124061 / 25957
↖ ↑ ↗
← N 72.941403°
E160.743713°		 ← 89.60 m → N 72.941403°
E160.746460°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
N 72.940597°
E160.743713°		 ← 89.60 m →
8 026 m²		 N 72.940597°
E160.746460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946514129638672 y=0.198040008544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946514129638672 × 217)
    floor (0.946514129638672 × 131072)
    floor (124061.5)     		tx = 124061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198040008544922 × 217)
    floor (0.198040008544922 × 131072)
    floor (25957.5)     		ty = 25957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124061 / 25957 ti = "17/124061/25957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124061/25957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124061 ÷ 217
    124061 ÷ 131072     		x = 0.946510314941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25957 ÷ 217
    25957 ÷ 131072     		y = 0.198036193847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946510314941406 × 2 - 1) × π
    0.893020629882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.80550705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198036193847656 × 2 - 1) × π
    0.603927612304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.8972945500622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80550705} λ = 2.80550705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8972945500622))-π/2
    2×atan(6.66783053609139)-π/2
    2×1.42193198563202-π/2
    2.84386397126403-1.57079632675     		φ = 1.27306764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80550705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.743713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27306764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.941403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124061 KachelY 25957 2.80550705 1.27306764 160.743713 72.941403
    Oben rechts KachelX + 1 124062 KachelY 25957 2.80555499 1.27306764 160.746460 72.941403
    Unten links KachelX 124061 KachelY + 1 25958 2.80550705 1.27305358 160.743713 72.940597
    Unten rechts KachelX + 1 124062 KachelY + 1 25958 2.80555499 1.27305358 160.746460 72.940597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27306764-1.27305358) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dl = 89.5762600002417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27306764-1.27305358) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dr = 89.5762600002417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80550705-2.80555499) × cos(1.27306764) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293349577870045 × 6371000     		do = 89.5965118995873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80550705-2.80555499) × cos(1.27305358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29336301927477 × 6371000     		du = 89.600617250572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27306764)-sin(1.27305358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293349577870045-0.29336301927477)×R²
    abs(2.80555499-2.80550705)×1.34414047248121e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34414047248121e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34414047248121e-05×40589641000000     		ar = 8025.90431615924m²