Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124060 / 25958
↖ ↑ ↗
← N 72.940597°
E160.740967°		 ← 89.60 m → N 72.940597°
E160.743713°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
N 72.939792°
E160.740967°		 ← 89.60 m →
8 026 m²		 N 72.939792°
E160.743713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946506500244141 y=0.198047637939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946506500244141 × 217)
    floor (0.946506500244141 × 131072)
    floor (124060.5)     		tx = 124060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198047637939453 × 217)
    floor (0.198047637939453 × 131072)
    floor (25958.5)     		ty = 25958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124060 / 25958 ti = "17/124060/25958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124060/25958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124060 ÷ 217
    124060 ÷ 131072     		x = 0.946502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25958 ÷ 217
    25958 ÷ 131072     		y = 0.198043823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946502685546875 × 2 - 1) × π
    0.89300537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80545911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198043823242188 × 2 - 1) × π
    0.603912353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89724661316258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80545911} λ = 2.80545911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89724661316258))-π/2
    2×atan(6.66751090862933)-π/2
    2×1.42192495433637-π/2
    2.84384990867274-1.57079632675     		φ = 1.27305358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80545911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.740967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27305358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.940597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124060 KachelY 25958 2.80545911 1.27305358 160.740967 72.940597
    Oben rechts KachelX + 1 124061 KachelY 25958 2.80550705 1.27305358 160.743713 72.940597
    Unten links KachelX 124060 KachelY + 1 25959 2.80545911 1.27303952 160.740967 72.939792
    Unten rechts KachelX + 1 124061 KachelY + 1 25959 2.80550705 1.27303952 160.743713 72.939792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27305358-1.27303952) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dl = 89.5762600002417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27305358-1.27303952) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dr = 89.5762600002417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80545911-2.80550705) × cos(1.27305358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.29336301927477 × 6371000     		do = 89.600617250572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80545911-2.80550705) × cos(1.27303952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293376460621501 × 6371000     		du = 89.6047225838441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27305358)-sin(1.27303952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29336301927477-0.293376460621501)×R²
    abs(2.80550705-2.80545911)×1.34413467317018e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34413467317018e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34413467317018e-05×40589641000000     		ar = 8026.27205730103m²