Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124059 / 25960
↖ ↑ ↗
← N 72.938985°
E160.738220°		 ← 89.59 m → N 72.938985°
E160.740967°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
N 72.938180°
E160.738220°		 ← 89.59 m →
8 025 m²		 N 72.938180°
E160.740967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946498870849609 y=0.198062896728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946498870849609 × 217)
    floor (0.946498870849609 × 131072)
    floor (124059.5)     		tx = 124059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198062896728516 × 217)
    floor (0.198062896728516 × 131072)
    floor (25960.5)     		ty = 25960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124059 / 25960 ti = "17/124059/25960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124059/25960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124059 ÷ 217
    124059 ÷ 131072     		x = 0.946495056152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25960 ÷ 217
    25960 ÷ 131072     		y = 0.19805908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946495056152344 × 2 - 1) × π
    0.892990112304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.80541118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19805908203125 × 2 - 1) × π
    0.6038818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89715073936334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80541118} λ = 2.80541118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89715073936334))-π/2
    2×atan(6.66687169966923)-π/2
    2×1.42191089077836-π/2
    2.84382178155672-1.57079632675     		φ = 1.27302545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80541118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.738220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27302545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.938985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124059 KachelY 25960 2.80541118 1.27302545 160.738220 72.938985
    Oben rechts KachelX + 1 124060 KachelY 25960 2.80545911 1.27302545 160.740967 72.938985
    Unten links KachelX 124059 KachelY + 1 25961 2.80541118 1.27301139 160.738220 72.938180
    Unten rechts KachelX + 1 124060 KachelY + 1 25961 2.80545911 1.27301139 160.740967 72.938180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27302545-1.27301139) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dl = 89.5762600002417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27302545-1.27301139) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dr = 89.5762600002417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80541118-2.80545911) × cos(1.27302545) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293389911470166 × 6371000     		do = 89.590138948105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80541118-2.80545911) × cos(1.27301139) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293403352700862 × 6371000     		du = 89.5942433895961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27302545)-sin(1.27301139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293389911470166-0.293403352700862)×R²
    abs(2.80545911-2.80541118)×1.34412306964093e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34412306964093e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34412306964093e-05×40589641000000     		ar = 8025.33341040223m²