Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124058 / 25962
↖ ↑ ↗
← N 72.937374°
E160.735474°		 ← 89.62 m → N 72.937374°
E160.738220°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
N 72.936568°
E160.735474°		 ← 89.62 m →
8 033 m²		 N 72.936568°
E160.738220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946491241455078 y=0.198078155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946491241455078 × 217)
    floor (0.946491241455078 × 131072)
    floor (124058.5)     		tx = 124058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198078155517578 × 217)
    floor (0.198078155517578 × 131072)
    floor (25962.5)     		ty = 25962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124058 / 25962 ti = "17/124058/25962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124058/25962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124058 ÷ 217
    124058 ÷ 131072     		x = 0.946487426757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25962 ÷ 217
    25962 ÷ 131072     		y = 0.198074340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946487426757812 × 2 - 1) × π
    0.892974853515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80536324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198074340820312 × 2 - 1) × π
    0.603851318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8970548655641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80536324} λ = 2.80536324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8970548655641))-π/2
    2×atan(6.66623255198959)-π/2
    2×1.4218968259313-π/2
    2.8437936518626-1.57079632675     		φ = 1.27299733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80536324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.735474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27299733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.937374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124058 KachelY 25962 2.80536324 1.27299733 160.735474 72.937374
    Oben rechts KachelX + 1 124059 KachelY 25962 2.80541118 1.27299733 160.738220 72.937374
    Unten links KachelX 124058 KachelY + 1 25963 2.80536324 1.27298326 160.735474 72.936568
    Unten rechts KachelX + 1 124059 KachelY + 1 25963 2.80541118 1.27298326 160.738220 72.936568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27299733-1.27298326) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dl = 89.6399699998545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27299733-1.27298326) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dr = 89.6399699998545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80536324-2.80541118) × cos(1.27299733) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293416793873558 × 6371000     		do = 89.6170413972001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80536324-2.80541118) × cos(1.27298326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293430244548054 × 6371000     		du = 89.6211495794117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27299733)-sin(1.27298326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293416793873558-0.293430244548054)×R²
    abs(2.80541118-2.80536324)×1.34506744964846e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34506744964846e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34506744964846e-05×40589641000000     		ar = 8033.45303119852m²