Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124054 / 25959
↖ ↑ ↗
← N 72.939792°
E160.724487°		 ← 89.60 m → N 72.939792°
E160.727234°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
N 72.938985°
E160.724487°		 ← 89.61 m →
8 032 m²		 N 72.938985°
E160.727234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946460723876953 y=0.198055267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946460723876953 × 217)
    floor (0.946460723876953 × 131072)
    floor (124054.5)     		tx = 124054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198055267333984 × 217)
    floor (0.198055267333984 × 131072)
    floor (25959.5)     		ty = 25959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124054 / 25959 ti = "17/124054/25959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124054/25959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124054 ÷ 217
    124054 ÷ 131072     		x = 0.946456909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25959 ÷ 217
    25959 ÷ 131072     		y = 0.198051452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946456909179688 × 2 - 1) × π
    0.892913818359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80517149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198051452636719 × 2 - 1) × π
    0.603897094726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.89719867626296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80517149} λ = 2.80517149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89719867626296))-π/2
    2×atan(6.66719129648886)-π/2
    2×1.42191792271849-π/2
    2.84383584543698-1.57079632675     		φ = 1.27303952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80517149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.724487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27303952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.939792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124054 KachelY 25959 2.80517149 1.27303952 160.724487 72.939792
    Oben rechts KachelX + 1 124055 KachelY 25959 2.80521943 1.27303952 160.727234 72.939792
    Unten links KachelX 124054 KachelY + 1 25960 2.80517149 1.27302545 160.724487 72.938985
    Unten rechts KachelX + 1 124055 KachelY + 1 25960 2.80521943 1.27302545 160.727234 72.938985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27303952-1.27302545) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dl = 89.6399699998545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27303952-1.27302545) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dr = 89.6399699998545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80517149-2.80521943) × cos(1.27303952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293376460621501 × 6371000     		do = 89.6047225838441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80517149-2.80521943) × cos(1.27302545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293389911470166 × 6371000     		du = 89.6088308192511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27303952)-sin(1.27302545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293376460621501-0.293389911470166)×R²
    abs(2.80521943-2.80517149)×1.34508486646645e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34508486646645e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34508486646645e-05×40589641000000     		ar = 8032.34877534344m²