Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124043 / 25936
↖ ↑ ↗
← N 72.958315°
E160.694275°		 ← 89.49 m → N 72.958315°
E160.697021°		 →
↑
89.51 m
↓
↑
89.51 m
↓
N 72.957510°
E160.694275°		 ← 89.50 m →
8 011 m²		 N 72.957510°
E160.697021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946376800537109 y=0.197879791259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946376800537109 × 217)
    floor (0.946376800537109 × 131072)
    floor (124043.5)     		tx = 124043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197879791259766 × 217)
    floor (0.197879791259766 × 131072)
    floor (25936.5)     		ty = 25936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124043 / 25936 ti = "17/124043/25936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124043/25936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124043 ÷ 217
    124043 ÷ 131072     		x = 0.946372985839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25936 ÷ 217
    25936 ÷ 131072     		y = 0.1978759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946372985839844 × 2 - 1) × π
    0.892745971679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.80464419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1978759765625 × 2 - 1) × π
    0.604248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89830122495422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80464419} λ = 2.80464419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89830122495422))-π/2
    2×atan(6.67454625338117)-π/2
    2×1.4220795684278-π/2
    2.8441591368556-1.57079632675     		φ = 1.27336281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80464419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.694275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27336281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.958315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124043 KachelY 25936 2.80464419 1.27336281 160.694275 72.958315
    Oben rechts KachelX + 1 124044 KachelY 25936 2.80469212 1.27336281 160.697021 72.958315
    Unten links KachelX 124043 KachelY + 1 25937 2.80464419 1.27334876 160.694275 72.957510
    Unten rechts KachelX + 1 124044 KachelY + 1 25937 2.80469212 1.27334876 160.697021 72.957510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27336281-1.27334876) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dl = 89.5125500006288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27336281-1.27334876) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dr = 89.5125500006288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80464419-2.80469212) × cos(1.27336281) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293067381027397 × 6371000     		do = 89.4916503973641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80464419-2.80469212) × cos(1.27334876) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293080814088114 × 6371000     		du = 89.4957523440539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27336281)-sin(1.27334876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293067381027397-0.293080814088114)×R²
    abs(2.80469212-2.80464419)×1.34330607177158e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34330607177158e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34330607177158e-05×40589641000000     		ar = 8010.80941881625m²