Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12404 / 20699
↖ ↑ ↗
← S 42.771211°
W 43.725586°		 ← 896.77 m → S 42.771211°
W 43.714599°		 →
↑
896.72 m
↓
↑
896.72 m
↓
S 42.779276°
W 43.725586°		 ← 896.65 m →
804 098 m²		 S 42.779276°
W 43.714599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378555297851562 y=0.631698608398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378555297851562 × 215)
    floor (0.378555297851562 × 32768)
    floor (12404.5)     		tx = 12404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631698608398438 × 215)
    floor (0.631698608398438 × 32768)
    floor (20699.5)     		ty = 20699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12404 / 20699 ti = "15/12404/20699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12404/20699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12404 ÷ 215
    12404 ÷ 32768     		x = 0.3785400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20699 ÷ 215
    20699 ÷ 32768     		y = 0.631683349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.242919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76315544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631683349609375 × 2 - 1) × π
    -0.26336669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.827390887442169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76315544} λ = -0.76315544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.827390887442169))-π/2
    2×atan(0.43718847347782)-π/2
    2×0.412148933688781-π/2
    0.824297867377562-1.57079632675     		φ = -0.74649846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76315544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.725586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74649846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.771211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12404 KachelY 20699 -0.76315544 -0.74649846 -43.725586 -42.771211
    Oben rechts KachelX + 1 12405 KachelY 20699 -0.76296369 -0.74649846 -43.714599 -42.771211
    Unten links KachelX 12404 KachelY + 1 20700 -0.76315544 -0.74663921 -43.725586 -42.779276
    Unten rechts KachelX + 1 12405 KachelY + 1 20700 -0.76296369 -0.74663921 -43.714599 -42.779276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74649846--0.74663921) × R
    0.000140750000000023 × 6371000     		dl = 896.718250000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74649846--0.74663921) × R
    0.000140750000000023 × 6371000     		dr = 896.718250000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76315544--0.76296369) × cos(-0.74649846) × R
    0.000191750000000046 × 0.734071163845877 × 6371000     		do = 896.77014604752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76315544--0.76296369) × cos(-0.74663921) × R
    0.000191750000000046 × 0.733975577113781 × 6371000     		du = 896.653373543812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74649846)-sin(-0.74663921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734071163845877-0.733975577113781)×R²
    abs(-0.76296369--0.76315544)×9.55867320965309e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55867320965309e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55867320965309e-05×40589641000000     		ar = 804097.801325261m²