Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124029 / 25717
↖ ↑ ↗
← N 73.133713°
E160.655823°		 ← 88.62 m → N 73.133713°
E160.658570°		 →
↑
88.62 m
↓
↑
88.62 m
↓
N 73.132916°
E160.655823°		 ← 88.62 m →
7 853 m²		 N 73.132916°
E160.658570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946269989013672 y=0.196208953857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946269989013672 × 217)
    floor (0.946269989013672 × 131072)
    floor (124029.5)     		tx = 124029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196208953857422 × 217)
    floor (0.196208953857422 × 131072)
    floor (25717.5)     		ty = 25717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124029 / 25717 ti = "17/124029/25717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124029/25717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124029 ÷ 217
    124029 ÷ 131072     		x = 0.946266174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25717 ÷ 217
    25717 ÷ 131072     		y = 0.196205139160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946266174316406 × 2 - 1) × π
    0.892532348632812 × 3.1415926535     		Λ = 2.80397307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196205139160156 × 2 - 1) × π
    0.607589721679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.90879940597102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80397307} λ = 2.80397307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90879940597102))-π/2
    2×atan(6.74498594553434)-π/2
    2×1.42361020868625-π/2
    2.8472204173725-1.57079632675     		φ = 1.27642409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80397307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.655823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27642409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.133713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124029 KachelY 25717 2.80397307 1.27642409 160.655823 73.133713
    Oben rechts KachelX + 1 124030 KachelY 25717 2.80402101 1.27642409 160.658570 73.133713
    Unten links KachelX 124029 KachelY + 1 25718 2.80397307 1.27641018 160.655823 73.132916
    Unten rechts KachelX + 1 124030 KachelY + 1 25718 2.80402101 1.27641018 160.658570 73.132916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27642409-1.27641018) × R
    1.39099999998393e-05 × 6371000     		dl = 88.6206099989764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27642409-1.27641018) × R
    1.39099999998393e-05 × 6371000     		dr = 88.6206099989764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80397307-2.80402101) × cos(1.27642409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290139147695237 × 6371000     		do = 88.6159638877289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80397307-2.80402101) × cos(1.27641018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290152459321139 × 6371000     		du = 88.6200296009206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27642409)-sin(1.27641018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290139147695237-0.290152459321139)×R²
    abs(2.80402101-2.80397307)×1.33116259017352e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33116259017352e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33116259017352e-05×40589641000000     		ar = 7853.38092848358m²