Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124028 / 25916
↖ ↑ ↗
← N 72.974406°
E160.653076°		 ← 89.43 m → N 72.974406°
E160.655823°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
N 72.973602°
E160.653076°		 ← 89.43 m →
7 999 m²		 N 72.973602°
E160.655823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946262359619141 y=0.197727203369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946262359619141 × 217)
    floor (0.946262359619141 × 131072)
    floor (124028.5)     		tx = 124028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197727203369141 × 217)
    floor (0.197727203369141 × 131072)
    floor (25916.5)     		ty = 25916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124028 / 25916 ti = "17/124028/25916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124028/25916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124028 ÷ 217
    124028 ÷ 131072     		x = 0.946258544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25916 ÷ 217
    25916 ÷ 131072     		y = 0.197723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946258544921875 × 2 - 1) × π
    0.89251708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80392513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197723388671875 × 2 - 1) × π
    0.60455322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89925996294662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80392513} λ = 2.80392513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89925996294662))-π/2
    2×atan(6.68094846298672)-π/2
    2×1.42221999147356-π/2
    2.84443998294712-1.57079632675     		φ = 1.27364366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80392513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.653076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27364366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.974406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124028 KachelY 25916 2.80392513 1.27364366 160.653076 72.974406
    Oben rechts KachelX + 1 124029 KachelY 25916 2.80397307 1.27364366 160.655823 72.974406
    Unten links KachelX 124028 KachelY + 1 25917 2.80392513 1.27362962 160.653076 72.973602
    Unten rechts KachelX + 1 124029 KachelY + 1 25917 2.80397307 1.27362962 160.655823 72.973602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27364366-1.27362962) × R
    1.40400000001595e-05 × 6371000     		dl = 89.4488400010161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27364366-1.27362962) × R
    1.40400000001595e-05 × 6371000     		dr = 89.4488400010161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80392513-2.80397307) × cos(1.27364366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292798851093715 × 6371000     		do = 89.428305766389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80392513-2.80397307) × cos(1.27362962) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292812275748657 × 6371000     		du = 89.4324060015589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27364366)-sin(1.27362962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292798851093715-0.292812275748657)×R²
    abs(2.80397307-2.80392513)×1.34246549420292e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34246549420292e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34246549420292e-05×40589641000000     		ar = 7999.44159483683m²