Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124026 / 25713
↖ ↑ ↗
← N 73.136901°
E160.647583°		 ← 88.60 m → N 73.136901°
E160.650330°		 →
↑
88.62 m
↓
↑
88.62 m
↓
N 73.136104°
E160.647583°		 ← 88.60 m →
7 852 m²		 N 73.136104°
E160.650330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946247100830078 y=0.196178436279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946247100830078 × 217)
    floor (0.946247100830078 × 131072)
    floor (124026.5)     		tx = 124026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196178436279297 × 217)
    floor (0.196178436279297 × 131072)
    floor (25713.5)     		ty = 25713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124026 / 25713 ti = "17/124026/25713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124026/25713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124026 ÷ 217
    124026 ÷ 131072     		x = 0.946243286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25713 ÷ 217
    25713 ÷ 131072     		y = 0.196174621582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946243286132812 × 2 - 1) × π
    0.892486572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80382926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196174621582031 × 2 - 1) × π
    0.607650756835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.9089911535695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80382926} λ = 2.80382926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9089911535695))-π/2
    2×atan(6.74627940439603)-π/2
    2×1.42363802287656-π/2
    2.84727604575312-1.57079632675     		φ = 1.27647972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80382926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.647583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27647972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.136901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124026 KachelY 25713 2.80382926 1.27647972 160.647583 73.136901
    Oben rechts KachelX + 1 124027 KachelY 25713 2.80387720 1.27647972 160.650330 73.136901
    Unten links KachelX 124026 KachelY + 1 25714 2.80382926 1.27646581 160.647583 73.136104
    Unten rechts KachelX + 1 124027 KachelY + 1 25714 2.80387720 1.27646581 160.650330 73.136104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27647972-1.27646581) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dl = 88.620610000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27647972-1.27646581) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dr = 88.620610000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80382926-2.80387720) × cos(1.27647972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290085910200277 × 6371000     		do = 88.5997037864349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80382926-2.80387720) × cos(1.27646581) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290099222050677 × 6371000     		du = 88.6037695681941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27647972)-sin(1.27646581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290085910200277-0.290099222050677)×R²
    abs(2.80387720-2.80382926)×1.33118503999885e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33118503999885e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33118503999885e-05×40589641000000     		ar = 7851.93995169007m²