Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 124025 / 25913
↖ ↑ ↗
← N 72.976818°
E160.644836°		 ← 89.42 m → N 72.976818°
E160.647583°		 →
↑
89.39 m
↓
↑
89.39 m
↓
N 72.976015°
E160.644836°		 ← 89.42 m →
7 993 m²		 N 72.976015°
E160.647583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946239471435547 y=0.197704315185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946239471435547 × 217)
    floor (0.946239471435547 × 131072)
    floor (124025.5)     		tx = 124025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197704315185547 × 217)
    floor (0.197704315185547 × 131072)
    floor (25913.5)     		ty = 25913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124025 / 25913 ti = "17/124025/25913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124025/25913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124025 ÷ 217
    124025 ÷ 131072     		x = 0.946235656738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25913 ÷ 217
    25913 ÷ 131072     		y = 0.197700500488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946235656738281 × 2 - 1) × π
    0.892471313476562 × 3.1415926535     		Λ = 2.80378132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197700500488281 × 2 - 1) × π
    0.604598999023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.89940377364548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80378132} λ = 2.80378132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89940377364548))-π/2
    2×atan(6.68190932394362)-π/2
    2×1.42224104383005-π/2
    2.8444820876601-1.57079632675     		φ = 1.27368576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80378132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.644836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27368576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.976818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124025 KachelY 25913 2.80378132 1.27368576 160.644836 72.976818
    Oben rechts KachelX + 1 124026 KachelY 25913 2.80382926 1.27368576 160.647583 72.976818
    Unten links KachelX 124025 KachelY + 1 25914 2.80378132 1.27367173 160.644836 72.976015
    Unten rechts KachelX + 1 124026 KachelY + 1 25914 2.80382926 1.27367173 160.647583 72.976015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27368576-1.27367173) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dl = 89.3851299999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27368576-1.27367173) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dr = 89.3851299999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80378132-2.80382926) × cos(1.27368576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292758595906326 × 6371000     		do = 89.4160107959919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80378132-2.80382926) × cos(1.27367173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292772011172506 × 6371000     		du = 89.4201081635922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27368576)-sin(1.27367173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292758595906326-0.292772011172506)×R²
    abs(2.80382926-2.80378132)×1.34152661799281e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34152661799281e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34152661799281e-05×40589641000000     		ar = 7992.64487101914m²