Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124024 / 25914
↖ ↑ ↗
← N 72.976015°
E160.642090°		 ← 89.42 m → N 72.976015°
E160.644836°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
N 72.975210°
E160.642090°		 ← 89.42 m →
7 999 m²		 N 72.975210°
E160.644836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946231842041016 y=0.197711944580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946231842041016 × 217)
    floor (0.946231842041016 × 131072)
    floor (124024.5)     		tx = 124024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197711944580078 × 217)
    floor (0.197711944580078 × 131072)
    floor (25914.5)     		ty = 25914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124024 / 25914 ti = "17/124024/25914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124024/25914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124024 ÷ 217
    124024 ÷ 131072     		x = 0.94622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25914 ÷ 217
    25914 ÷ 131072     		y = 0.197708129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94622802734375 × 2 - 1) × π
    0.8924560546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80373338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197708129882812 × 2 - 1) × π
    0.604583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89935583674586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80373338} λ = 2.80373338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89935583674586))-π/2
    2×atan(6.6815890216043)-π/2
    2×1.42223402669954-π/2
    2.84446805339908-1.57079632675     		φ = 1.27367173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80373338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.642090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27367173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.976015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124024 KachelY 25914 2.80373338 1.27367173 160.642090 72.976015
    Oben rechts KachelX + 1 124025 KachelY 25914 2.80378132 1.27367173 160.644836 72.976015
    Unten links KachelX 124024 KachelY + 1 25915 2.80373338 1.27365769 160.642090 72.975210
    Unten rechts KachelX + 1 124025 KachelY + 1 25915 2.80378132 1.27365769 160.644836 72.975210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27367173-1.27365769) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dl = 89.4488399996014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27367173-1.27365769) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dr = 89.4488399996014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80373338-2.80378132) × cos(1.27367173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292772011172506 × 6371000     		do = 89.4201081635922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80373338-2.80378132) × cos(1.27365769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.292785435942838 × 6371000     		du = 89.4242084340051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27367173)-sin(1.27365769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292772011172506-0.292785435942838)×R²
    abs(2.80378132-2.80373338)×1.34247703320045e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34247703320045e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34247703320045e-05×40589641000000     		ar = 7998.70833014923m²