Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 124023 / 25932
↖ ↑ ↗
← N 72.961534°
E160.639343°		 ← 89.48 m → N 72.961534°
E160.642090°		 →
↑
89.51 m
↓
↑
89.51 m
↓
N 72.960729°
E160.639343°		 ← 89.48 m →
8 009 m²		 N 72.960729°
E160.642090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946224212646484 y=0.197849273681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946224212646484 × 217)
    floor (0.946224212646484 × 131072)
    floor (124023.5)     		tx = 124023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197849273681641 × 217)
    floor (0.197849273681641 × 131072)
    floor (25932.5)     		ty = 25932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124023 / 25932 ti = "17/124023/25932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124023/25932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124023 ÷ 217
    124023 ÷ 131072     		x = 0.946220397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25932 ÷ 217
    25932 ÷ 131072     		y = 0.197845458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946220397949219 × 2 - 1) × π
    0.892440795898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.80368545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197845458984375 × 2 - 1) × π
    0.60430908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8984929725527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80368545} λ = 2.80368545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8984929725527))-π/2
    2×atan(6.67582620430604)-π/2
    2×1.42210766333566-π/2
    2.84421532667132-1.57079632675     		φ = 1.27341900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80368545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.639343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27341900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.961534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124023 KachelY 25932 2.80368545 1.27341900 160.639343 72.961534
    Oben rechts KachelX + 1 124024 KachelY 25932 2.80373338 1.27341900 160.642090 72.961534
    Unten links KachelX 124023 KachelY + 1 25933 2.80368545 1.27340495 160.639343 72.960729
    Unten rechts KachelX + 1 124024 KachelY + 1 25933 2.80373338 1.27340495 160.642090 72.960729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27341900-1.27340495) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dl = 89.5125500006288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27341900-1.27340495) × R
    1.40500000000987e-05 × 6371000     		dr = 89.5125500006288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80368545-2.80373338) × cos(1.27341900) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293013657767113 × 6371000     		do = 89.4752453535456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80368545-2.80373338) × cos(1.27340495) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293027091059182 × 6371000     		du = 89.4793473708816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27341900)-sin(1.27340495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293013657767113-0.293027091059182)×R²
    abs(2.80373338-2.80368545)×1.34332920695424e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34332920695424e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34332920695424e-05×40589641000000     		ar = 8009.34096460964m²