Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124023 / 25711
↖ ↑ ↗
← N 73.138494°
E160.639343°		 ← 88.57 m → N 73.138494°
E160.642090°		 →
↑
88.62 m
↓
↑
88.62 m
↓
N 73.137697°
E160.639343°		 ← 88.58 m →
7 850 m²		 N 73.137697°
E160.642090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946224212646484 y=0.196163177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946224212646484 × 217)
    floor (0.946224212646484 × 131072)
    floor (124023.5)     		tx = 124023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196163177490234 × 217)
    floor (0.196163177490234 × 131072)
    floor (25711.5)     		ty = 25711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124023 / 25711 ti = "17/124023/25711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124023/25711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124023 ÷ 217
    124023 ÷ 131072     		x = 0.946220397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25711 ÷ 217
    25711 ÷ 131072     		y = 0.196159362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946220397949219 × 2 - 1) × π
    0.892440795898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.80368545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196159362792969 × 2 - 1) × π
    0.607681274414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.90908702736874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80368545} λ = 2.80368545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90908702736874))-π/2
    2×atan(6.74692622683943)-π/2
    2×1.42365192805785-π/2
    2.84730385611569-1.57079632675     		φ = 1.27650753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80368545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.639343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27650753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.138494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124023 KachelY 25711 2.80368545 1.27650753 160.639343 73.138494
    Oben rechts KachelX + 1 124024 KachelY 25711 2.80373338 1.27650753 160.642090 73.138494
    Unten links KachelX 124023 KachelY + 1 25712 2.80368545 1.27649362 160.639343 73.137697
    Unten rechts KachelX + 1 124024 KachelY + 1 25712 2.80373338 1.27649362 160.642090 73.137697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27650753-1.27649362) × R
    1.39099999998393e-05 × 6371000     		dl = 88.6206099989764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27650753-1.27649362) × R
    1.39099999998393e-05 × 6371000     		dr = 88.6206099989764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80368545-2.80373338) × cos(1.27650753) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290059295901181 × 6371000     		do = 88.5730954168097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80368545-2.80373338) × cos(1.27649362) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.290072607863795 × 6371000     		du = 88.5771603847365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27650753)-sin(1.27649362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290059295901181-0.290072607863795)×R²
    abs(2.80373338-2.80368545)×1.33119626132272e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33119626132272e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33119626132272e-05×40589641000000     		ar = 7849.58186552464m²