Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124021 / 25709
↖ ↑ ↗
← N 73.140087°
E160.633850°		 ← 88.58 m → N 73.140087°
E160.636597°		 →
↑
88.62 m
↓
↑
88.62 m
↓
N 73.139290°
E160.633850°		 ← 88.59 m →
7 850 m²		 N 73.139290°
E160.636597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946208953857422 y=0.196147918701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946208953857422 × 217)
    floor (0.946208953857422 × 131072)
    floor (124021.5)     		tx = 124021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196147918701172 × 217)
    floor (0.196147918701172 × 131072)
    floor (25709.5)     		ty = 25709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124021 / 25709 ti = "17/124021/25709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124021/25709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124021 ÷ 217
    124021 ÷ 131072     		x = 0.946205139160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25709 ÷ 217
    25709 ÷ 131072     		y = 0.196144104003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946205139160156 × 2 - 1) × π
    0.892410278320312 × 3.1415926535     		Λ = 2.80358957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196144104003906 × 2 - 1) × π
    0.607711791992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.90918290116798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80358957} λ = 2.80358957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90918290116798))-π/2
    2×atan(6.74757311129913)-π/2
    2×1.42366583196336-π/2
    2.84733166392672-1.57079632675     		φ = 1.27653534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80358957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.633850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27653534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.140087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124021 KachelY 25709 2.80358957 1.27653534 160.633850 73.140087
    Oben rechts KachelX + 1 124022 KachelY 25709 2.80363751 1.27653534 160.636597 73.140087
    Unten links KachelX 124021 KachelY + 1 25710 2.80358957 1.27652143 160.633850 73.139290
    Unten rechts KachelX + 1 124022 KachelY + 1 25710 2.80363751 1.27652143 160.636597 73.139290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27653534-1.27652143) × R
    1.39099999998393e-05 × 6371000     		dl = 88.6206099989764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27653534-1.27652143) × R
    1.39099999998393e-05 × 6371000     		dr = 88.6206099989764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80358957-2.80363751) × cos(1.27653534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290032681377756 × 6371000     		do = 88.5834463339271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80358957-2.80363751) × cos(1.27652143) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.290045993452572 × 6371000     		du = 88.5875121842289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27653534)-sin(1.27652143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290032681377756-0.290045993452572)×R²
    abs(2.80363751-2.80358957)×1.33120748163629e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33120748163629e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33120748163629e-05×40589641000000     		ar = 7850.49920929419m²