Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124020 / 25930
↖ ↑ ↗
← N 72.963144°
E160.631104°		 ← 89.47 m → N 72.963144°
E160.633850°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
N 72.962339°
E160.631104°		 ← 89.47 m →
8 003 m²		 N 72.962339°
E160.633850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946201324462891 y=0.197834014892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946201324462891 × 217)
    floor (0.946201324462891 × 131072)
    floor (124020.5)     		tx = 124020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197834014892578 × 217)
    floor (0.197834014892578 × 131072)
    floor (25930.5)     		ty = 25930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124020 / 25930 ti = "17/124020/25930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124020/25930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124020 ÷ 217
    124020 ÷ 131072     		x = 0.946197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25930 ÷ 217
    25930 ÷ 131072     		y = 0.197830200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946197509765625 × 2 - 1) × π
    0.89239501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80354164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197830200195312 × 2 - 1) × π
    0.604339599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89858884635194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80354164} λ = 2.80354164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89858884635194))-π/2
    2×atan(6.67646627180968)-π/2
    2×1.42212170885821-π/2
    2.84424341771641-1.57079632675     		φ = 1.27344709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80354164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.631104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27344709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.963144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124020 KachelY 25930 2.80354164 1.27344709 160.631104 72.963144
    Oben rechts KachelX + 1 124021 KachelY 25930 2.80358957 1.27344709 160.633850 72.963144
    Unten links KachelX 124020 KachelY + 1 25931 2.80354164 1.27343305 160.631104 72.962339
    Unten rechts KachelX + 1 124021 KachelY + 1 25931 2.80358957 1.27343305 160.633850 72.962339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27344709-1.27343305) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dl = 89.4488399996014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27344709-1.27343305) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dr = 89.4488399996014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80354164-2.80358957) × cos(1.27344709) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292986800570617 × 6371000     		do = 89.4670441855035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80354164-2.80358957) × cos(1.27343305) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293000224417202 × 6371000     		du = 89.4711433185471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27344709)-sin(1.27343305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292986800570617-0.293000224417202)×R²
    abs(2.80358957-2.80354164)×1.34238465851477e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34238465851477e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34238465851477e-05×40589641000000     		ar = 8002.9066519262m²