Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124020 / 25928
↖ ↑ ↗
← N 72.964753°
E160.631104°		 ← 89.46 m → N 72.964753°
E160.633850°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
N 72.963949°
E160.631104°		 ← 89.46 m →
8 002 m²		 N 72.963949°
E160.633850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946201324462891 y=0.197818756103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946201324462891 × 217)
    floor (0.946201324462891 × 131072)
    floor (124020.5)     		tx = 124020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197818756103516 × 217)
    floor (0.197818756103516 × 131072)
    floor (25928.5)     		ty = 25928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124020 / 25928 ti = "17/124020/25928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124020/25928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124020 ÷ 217
    124020 ÷ 131072     		x = 0.946197509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25928 ÷ 217
    25928 ÷ 131072     		y = 0.19781494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946197509765625 × 2 - 1) × π
    0.89239501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80354164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19781494140625 × 2 - 1) × π
    0.6043701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89868472015118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80354164} λ = 2.80354164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89868472015118))-π/2
    2×atan(6.67710640068195)-π/2
    2×1.42213575309331-π/2
    2.84427150618662-1.57079632675     		φ = 1.27347518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80354164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.631104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27347518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.964753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124020 KachelY 25928 2.80354164 1.27347518 160.631104 72.964753
    Oben rechts KachelX + 1 124021 KachelY 25928 2.80358957 1.27347518 160.633850 72.964753
    Unten links KachelX 124020 KachelY + 1 25929 2.80354164 1.27346114 160.631104 72.963949
    Unten rechts KachelX + 1 124021 KachelY + 1 25929 2.80358957 1.27346114 160.633850 72.963949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27347518-1.27346114) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dl = 89.4488399996014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27347518-1.27346114) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dr = 89.4488399996014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80354164-2.80358957) × cos(1.27347518) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.29295994314294 × 6371000     		do = 89.4588429468675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80354164-2.80358957) × cos(1.27346114) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.292973367105072 × 6371000     		du = 89.4629421151946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27347518)-sin(1.27346114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29295994314294-0.292973367105072)×R²
    abs(2.80358957-2.80354164)×1.34239621316645e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34239621316645e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34239621316645e-05×40589641000000     		ar = 8002.17306242424m²