Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12402 / 20115
↖ ↑ ↗
← S 37.883525°
W 43.747559°		 ← 964.19 m → S 37.883525°
W 43.736572°		 →
↑
964.12 m
↓
↑
964.12 m
↓
S 37.892195°
W 43.747559°		 ← 964.08 m →
929 545 m²		 S 37.892195°
W 43.736572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378494262695312 y=0.613876342773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378494262695312 × 215)
    floor (0.378494262695312 × 32768)
    floor (12402.5)     		tx = 12402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613876342773438 × 215)
    floor (0.613876342773438 × 32768)
    floor (20115.5)     		ty = 20115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12402 / 20115 ti = "15/12402/20115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12402/20115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12402 ÷ 215
    12402 ÷ 32768     		x = 0.37847900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20115 ÷ 215
    20115 ÷ 32768     		y = 0.613861083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37847900390625 × 2 - 1) × π
    -0.2430419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76353894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613861083984375 × 2 - 1) × π
    -0.22772216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.715410289929718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76353894} λ = -0.76353894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.715410289929718))-π/2
    2×atan(0.488991442368302)-π/2
    2×0.454802041816655-π/2
    0.909604083633309-1.57079632675     		φ = -0.66119224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76353894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.747559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66119224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.883525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12402 KachelY 20115 -0.76353894 -0.66119224 -43.747559 -37.883525
    Oben rechts KachelX + 1 12403 KachelY 20115 -0.76334719 -0.66119224 -43.736572 -37.883525
    Unten links KachelX 12402 KachelY + 1 20116 -0.76353894 -0.66134357 -43.747559 -37.892195
    Unten rechts KachelX + 1 12403 KachelY + 1 20116 -0.76334719 -0.66134357 -43.736572 -37.892195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66119224--0.66134357) × R
    0.000151330000000005 × 6371000     		dl = 964.123430000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66119224--0.66134357) × R
    0.000151330000000005 × 6371000     		dr = 964.123430000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76353894--0.76334719) × cos(-0.66119224) × R
    0.000191750000000046 × 0.789260687773224 × 6371000     		do = 964.191834665997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76353894--0.76334719) × cos(-0.66134357) × R
    0.000191750000000046 × 0.789167753297283 × 6371000     		du = 964.078302262509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66119224)-sin(-0.66134357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.789260687773224-0.789167753297283)×R²
    abs(-0.76334719--0.76353894)×9.29344759413864e-05×R²
    0.000191750000000046×9.29344759413864e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.29344759413864e-05×40589641000000     		ar = 929545.210964734m²