Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124017 / 25927
↖ ↑ ↗
← N 72.965558°
E160.622864°		 ← 89.45 m → N 72.965558°
E160.625610°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
N 72.964753°
E160.622864°		 ← 89.46 m →
8 002 m²		 N 72.964753°
E160.625610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946178436279297 y=0.197811126708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946178436279297 × 217)
    floor (0.946178436279297 × 131072)
    floor (124017.5)     		tx = 124017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197811126708984 × 217)
    floor (0.197811126708984 × 131072)
    floor (25927.5)     		ty = 25927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124017 / 25927 ti = "17/124017/25927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124017/25927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124017 ÷ 217
    124017 ÷ 131072     		x = 0.946174621582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25927 ÷ 217
    25927 ÷ 131072     		y = 0.197807312011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946174621582031 × 2 - 1) × π
    0.892349243164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.80339783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197807312011719 × 2 - 1) × π
    0.604385375976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.8987326570508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80339783} λ = 2.80339783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8987326570508))-π/2
    2×atan(6.67742648813318)-π/2
    2×1.4221427747281-π/2
    2.8442855494562-1.57079632675     		φ = 1.27348922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80339783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.622864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27348922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.965558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124017 KachelY 25927 2.80339783 1.27348922 160.622864 72.965558
    Oben rechts KachelX + 1 124018 KachelY 25927 2.80344576 1.27348922 160.625610 72.965558
    Unten links KachelX 124017 KachelY + 1 25928 2.80339783 1.27347518 160.622864 72.964753
    Unten rechts KachelX + 1 124018 KachelY + 1 25928 2.80344576 1.27347518 160.625610 72.964753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27348922-1.27347518) × R
    1.40400000001595e-05 × 6371000     		dl = 89.4488400010161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27348922-1.27347518) × R
    1.40400000001595e-05 × 6371000     		dr = 89.4488400010161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80339783-2.80344576) × cos(1.27348922) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.292946519123059 × 6371000     		do = 89.4547437600771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80339783-2.80344576) × cos(1.27347518) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.29295994314294 × 6371000     		du = 89.4588429460386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27348922)-sin(1.27347518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292946519123059-0.29295994314294)×R²
    abs(2.80344576-2.80339783)×1.34240198806368e-05×R²
    4.79299999995852e-05×1.34240198806368e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×1.34240198806368e-05×40589641000000     		ar = 8001.80639557297m²