Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124016 / 25723
↖ ↑ ↗
← N 73.128931°
E160.620117°		 ← 88.64 m → N 73.128931°
E160.622864°		 →
↑
88.62 m
↓
↑
88.62 m
↓
N 73.128134°
E160.620117°		 ← 88.64 m →
7 856 m²		 N 73.128134°
E160.622864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946170806884766 y=0.196254730224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946170806884766 × 217)
    floor (0.946170806884766 × 131072)
    floor (124016.5)     		tx = 124016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196254730224609 × 217)
    floor (0.196254730224609 × 131072)
    floor (25723.5)     		ty = 25723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124016 / 25723 ti = "17/124016/25723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124016/25723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124016 ÷ 217
    124016 ÷ 131072     		x = 0.9461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25723 ÷ 217
    25723 ÷ 131072     		y = 0.196250915527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9461669921875 × 2 - 1) × π
    0.892333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80334989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196250915527344 × 2 - 1) × π
    0.607498168945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.9085117845733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80334989} λ = 2.80334989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9085117845733))-π/2
    2×atan(6.74304622221542)-π/2
    2×1.42356847782985-π/2
    2.84713695565971-1.57079632675     		φ = 1.27634063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80334989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27634063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.128931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124016 KachelY 25723 2.80334989 1.27634063 160.620117 73.128931
    Oben rechts KachelX + 1 124017 KachelY 25723 2.80339783 1.27634063 160.622864 73.128931
    Unten links KachelX 124016 KachelY + 1 25724 2.80334989 1.27632672 160.620117 73.128134
    Unten rechts KachelX + 1 124017 KachelY + 1 25724 2.80339783 1.27632672 160.622864 73.128134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27634063-1.27632672) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dl = 88.620610000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27634063-1.27632672) × R
    1.39100000000614e-05 × 6371000     		dr = 88.620610000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80334989-2.80339783) × cos(1.27634063) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.290219016608481 × 6371000     		do = 88.6403579104806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80334989-2.80339783) × cos(1.27632672) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.290232327897498 × 6371000     		du = 88.644423520779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27634063)-sin(1.27632672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290219016608481-0.290232327897498)×R²
    abs(2.80339783-2.80334989)×1.33112890169929e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.33112890169929e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.33112890169929e-05×40589641000000     		ar = 7855.54273724175m²