Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12400 / 20113
↖ ↑ ↗
← S 37.866181°
W 43.769531°		 ← 964.42 m → S 37.866181°
W 43.758545°		 →
↑
964.38 m
↓
↑
964.38 m
↓
S 37.874854°
W 43.769531°		 ← 964.31 m →
930 010 m²		 S 37.874854°
W 43.758545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378433227539062 y=0.613815307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378433227539062 × 215)
    floor (0.378433227539062 × 32768)
    floor (12400.5)     		tx = 12400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613815307617188 × 215)
    floor (0.613815307617188 × 32768)
    floor (20113.5)     		ty = 20113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12400 / 20113 ti = "15/12400/20113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12400/20113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12400 ÷ 215
    12400 ÷ 32768     		x = 0.37841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20113 ÷ 215
    20113 ÷ 32768     		y = 0.613800048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37841796875 × 2 - 1) × π
    -0.2431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76392243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613800048828125 × 2 - 1) × π
    -0.22760009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.715026794732758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76392243} λ = -0.76392243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.715026794732758))-π/2
    2×atan(0.489179004200037)-π/2
    2×0.454953398476096-π/2
    0.909906796952192-1.57079632675     		φ = -0.66088953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76392243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66088953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.866181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12400 KachelY 20113 -0.76392243 -0.66088953 -43.769531 -37.866181
    Oben rechts KachelX + 1 12401 KachelY 20113 -0.76373068 -0.66088953 -43.758545 -37.866181
    Unten links KachelX 12400 KachelY + 1 20114 -0.76392243 -0.66104090 -43.769531 -37.874854
    Unten rechts KachelX + 1 12401 KachelY + 1 20114 -0.76373068 -0.66104090 -43.758545 -37.874854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66088953--0.66104090) × R
    0.000151370000000095 × 6371000     		dl = 964.378270000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66088953--0.66104090) × R
    0.000151370000000095 × 6371000     		dr = 964.378270000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76392243--0.76373068) × cos(-0.66088953) × R
    0.000191750000000046 × 0.789446533189917 × 6371000     		do = 964.418870721462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76392243--0.76373068) × cos(-0.66104090) × R
    0.000191750000000046 × 0.789353610313877 × 6371000     		du = 964.305352488869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66088953)-sin(-0.66104090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.789446533189917-0.789353610313877)×R²
    abs(-0.76373068--0.76392243)×9.29228760396805e-05×R²
    0.000191750000000046×9.29228760396805e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.29228760396805e-05×40589641000000     		ar = 930009.866619521m²