Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123992 / 26071
↖ ↑ ↗
← N 72.849312°
E160.554199°		 ← 90.07 m → N 72.849312°
E160.556946°		 →
↑
90.02 m
↓
↑
90.02 m
↓
N 72.848502°
E160.554199°		 ← 90.07 m →
8 108 m²		 N 72.848502°
E160.556946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945987701416016 y=0.198909759521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945987701416016 × 217)
    floor (0.945987701416016 × 131072)
    floor (123992.5)     		tx = 123992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198909759521484 × 217)
    floor (0.198909759521484 × 131072)
    floor (26071.5)     		ty = 26071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123992 / 26071 ti = "17/123992/26071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123992/26071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123992 ÷ 217
    123992 ÷ 131072     		x = 0.94598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26071 ÷ 217
    26071 ÷ 131072     		y = 0.198905944824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94598388671875 × 2 - 1) × π
    0.8919677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80219940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198905944824219 × 2 - 1) × π
    0.602188110351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.89182974350552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80219940} λ = 2.80219940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89182974350552))-π/2
    2×atan(6.63149151535428)-π/2
    2×1.42112833918929-π/2
    2.84225667837859-1.57079632675     		φ = 1.27146035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80219940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.554199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27146035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.849312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123992 KachelY 26071 2.80219940 1.27146035 160.554199 72.849312
    Oben rechts KachelX + 1 123993 KachelY 26071 2.80224734 1.27146035 160.556946 72.849312
    Unten links KachelX 123992 KachelY + 1 26072 2.80219940 1.27144622 160.554199 72.848502
    Unten rechts KachelX + 1 123993 KachelY + 1 26072 2.80224734 1.27144622 160.556946 72.848502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27146035-1.27144622) × R
    1.41299999998346e-05 × 6371000     		dl = 90.0222299989459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27146035-1.27144622) × R
    1.41299999998346e-05 × 6371000     		dr = 90.0222299989459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80219940-2.80224734) × cos(1.27146035) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294885775959107 × 6371000     		do = 90.0657063377253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80219940-2.80224734) × cos(1.27144622) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294899277604045 × 6371000     		du = 90.0698300876219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27146035)-sin(1.27144622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294885775959107-0.294899277604045)×R²
    abs(2.80224734-2.80219940)×1.35016449385739e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35016449385739e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35016449385739e-05×40589641000000     		ar = 8108.10134572542m²