Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123991 / 26069
↖ ↑ ↗
← N 72.850932°
E160.551453°		 ← 90.04 m → N 72.850932°
E160.554199°		 →
↑
90.02 m
↓
↑
90.02 m
↓
N 72.850122°
E160.551453°		 ← 90.04 m →
8 106 m²		 N 72.850122°
E160.554199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945980072021484 y=0.198894500732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945980072021484 × 217)
    floor (0.945980072021484 × 131072)
    floor (123991.5)     		tx = 123991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198894500732422 × 217)
    floor (0.198894500732422 × 131072)
    floor (26069.5)     		ty = 26069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123991 / 26069 ti = "17/123991/26069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123991/26069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123991 ÷ 217
    123991 ÷ 131072     		x = 0.945976257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26069 ÷ 217
    26069 ÷ 131072     		y = 0.198890686035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945976257324219 × 2 - 1) × π
    0.891952514648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.80215147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198890686035156 × 2 - 1) × π
    0.602218627929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.89192561730476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80215147} λ = 2.80215147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89192561730476))-π/2
    2×atan(6.63212733211908)-π/2
    2×1.42114247445158-π/2
    2.84228494890316-1.57079632675     		φ = 1.27148862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80215147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.551453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27148862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.850932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123991 KachelY 26069 2.80215147 1.27148862 160.551453 72.850932
    Oben rechts KachelX + 1 123992 KachelY 26069 2.80219940 1.27148862 160.554199 72.850932
    Unten links KachelX 123991 KachelY + 1 26070 2.80215147 1.27147449 160.551453 72.850122
    Unten rechts KachelX + 1 123992 KachelY + 1 26070 2.80219940 1.27147449 160.554199 72.850122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27148862-1.27147449) × R
    1.41300000000566e-05 × 6371000     		dl = 90.0222300003606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27148862-1.27147449) × R
    1.41300000000566e-05 × 6371000     		dr = 90.0222300003606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80215147-2.80219940) × cos(1.27148862) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294858762937196 × 6371000     		do = 90.0386704138459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80215147-2.80219940) × cos(1.27147449) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294872264699925 × 6371000     		du = 90.0427933395216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27148862)-sin(1.27147449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294858762937196-0.294872264699925)×R²
    abs(2.80219940-2.80215147)×1.35017627297396e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35017627297396e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35017627297396e-05×40589641000000     		ar = 8105.66747455777m²