Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123991 / 26064
↖ ↑ ↗
← N 72.854981°
E160.551453°		 ← 90.02 m → N 72.854981°
E160.554199°		 →
↑
90.02 m
↓
↑
90.02 m
↓
N 72.854171°
E160.551453°		 ← 90.02 m →
8 104 m²		 N 72.854171°
E160.554199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945980072021484 y=0.198856353759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945980072021484 × 217)
    floor (0.945980072021484 × 131072)
    floor (123991.5)     		tx = 123991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198856353759766 × 217)
    floor (0.198856353759766 × 131072)
    floor (26064.5)     		ty = 26064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123991 / 26064 ti = "17/123991/26064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123991/26064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123991 ÷ 217
    123991 ÷ 131072     		x = 0.945976257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26064 ÷ 217
    26064 ÷ 131072     		y = 0.1988525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945976257324219 × 2 - 1) × π
    0.891952514648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.80215147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1988525390625 × 2 - 1) × π
    0.602294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89216530180286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80215147} λ = 2.80215147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89216530180286))-π/2
    2×atan(6.63371714074865)-π/2
    2×1.42117780694239-π/2
    2.84235561388477-1.57079632675     		φ = 1.27155929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80215147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.551453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27155929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.854981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123991 KachelY 26064 2.80215147 1.27155929 160.551453 72.854981
    Oben rechts KachelX + 1 123992 KachelY 26064 2.80219940 1.27155929 160.554199 72.854981
    Unten links KachelX 123991 KachelY + 1 26065 2.80215147 1.27154516 160.551453 72.854171
    Unten rechts KachelX + 1 123992 KachelY + 1 26065 2.80219940 1.27154516 160.554199 72.854171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27155929-1.27154516) × R
    1.41299999998346e-05 × 6371000     		dl = 90.0222299989459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27155929-1.27154516) × R
    1.41299999998346e-05 × 6371000     		dr = 90.0222299989459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80215147-2.80219940) × cos(1.27155929) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294791234129309 × 6371000     		do = 90.0180496799861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80215147-2.80219940) × cos(1.27154516) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.294804736186448 × 6371000     		du = 90.0221726955632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27155929)-sin(1.27154516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294791234129309-0.294804736186448)×R²
    abs(2.80219940-2.80215147)×1.35020571387923e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35020571387923e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35020571387923e-05×40589641000000     		ar = 8103.8111539774m²