Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123990 / 26044
↖ ↑ ↗
← N 72.871167°
E160.548706°		 ← 89.95 m → N 72.871167°
E160.551453°		 →
↑
89.96 m
↓
↑
89.96 m
↓
N 72.870358°
E160.548706°		 ← 89.96 m →
8 092 m²		 N 72.870358°
E160.551453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945972442626953 y=0.198703765869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945972442626953 × 217)
    floor (0.945972442626953 × 131072)
    floor (123990.5)     		tx = 123990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198703765869141 × 217)
    floor (0.198703765869141 × 131072)
    floor (26044.5)     		ty = 26044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123990 / 26044 ti = "17/123990/26044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123990/26044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123990 ÷ 217
    123990 ÷ 131072     		x = 0.945968627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26044 ÷ 217
    26044 ÷ 131072     		y = 0.198699951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945968627929688 × 2 - 1) × π
    0.891937255859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80210353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198699951171875 × 2 - 1) × π
    0.60260009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89312403979526
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80210353} λ = 2.80210353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89312403979526))-π/2
    2×atan(6.6400801871621)-π/2
    2×1.42131905600847-π/2
    2.84263811201694-1.57079632675     		φ = 1.27184179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80210353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.548706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27184179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.871167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123990 KachelY 26044 2.80210353 1.27184179 160.548706 72.871167
    Oben rechts KachelX + 1 123991 KachelY 26044 2.80215147 1.27184179 160.551453 72.871167
    Unten links KachelX 123990 KachelY + 1 26045 2.80210353 1.27182767 160.548706 72.870358
    Unten rechts KachelX + 1 123991 KachelY + 1 26045 2.80215147 1.27182767 160.551453 72.870358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27184179-1.27182767) × R
    1.41200000001174e-05 × 6371000     		dl = 89.9585200007478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27184179-1.27182767) × R
    1.41200000001174e-05 × 6371000     		dr = 89.9585200007478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80210353-2.80215147) × cos(1.27184179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294521276194617 × 6371000     		do = 89.9543787274263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80210353-2.80215147) × cos(1.27182767) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294534769871562 × 6371000     		du = 89.9585000436926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27184179)-sin(1.27182767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294521276194617-0.294534769871562)×R²
    abs(2.80215147-2.80210353)×1.34936769451421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34936769451421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34936769451421e-05×40589641000000     		ar = 8092.3481518877m²