Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12399 / 20786
↖ ↑ ↗
← S 43.468868°
W 43.780518°		 ← 886.60 m → S 43.468868°
W 43.769531°		 →
↑
886.52 m
↓
↑
886.52 m
↓
S 43.476840°
W 43.780518°		 ← 886.49 m →
785 943 m²		 S 43.476840°
W 43.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378402709960938 y=0.634353637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378402709960938 × 215)
    floor (0.378402709960938 × 32768)
    floor (12399.5)     		tx = 12399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634353637695312 × 215)
    floor (0.634353637695312 × 32768)
    floor (20786.5)     		ty = 20786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12399 / 20786 ti = "15/12399/20786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12399/20786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12399 ÷ 215
    12399 ÷ 32768     		x = 0.378387451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20786 ÷ 215
    20786 ÷ 32768     		y = 0.63433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378387451171875 × 2 - 1) × π
    -0.24322509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76411418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.2686767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.844072928509949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76411418} λ = -0.76411418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.844072928509949))-π/2
    2×atan(0.429955773241951)-π/2
    2×0.40606073241005-π/2
    0.812121464820101-1.57079632675     		φ = -0.75867486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76411418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.780518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75867486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.468868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12399 KachelY 20786 -0.76411418 -0.75867486 -43.780518 -43.468868
    Oben rechts KachelX + 1 12400 KachelY 20786 -0.76392243 -0.75867486 -43.769531 -43.468868
    Unten links KachelX 12399 KachelY + 1 20787 -0.76411418 -0.75881401 -43.780518 -43.476840
    Unten rechts KachelX + 1 12400 KachelY + 1 20787 -0.76392243 -0.75881401 -43.769531 -43.476840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75867486--0.75881401) × R
    0.000139150000000088 × 6371000     		dl = 886.52465000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75867486--0.75881401) × R
    0.000139150000000088 × 6371000     		dr = 886.52465000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76411418--0.76392243) × cos(-0.75867486) × R
    0.000191749999999935 × 0.725748291433017 × 6371000     		do = 886.602598434712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76411418--0.76392243) × cos(-0.75881401) × R
    0.000191749999999935 × 0.725652554726991 × 6371000     		du = 886.485642716964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75867486)-sin(-0.75881401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725748291433017-0.725652554726991)×R²
    abs(-0.76392243--0.76411418)×9.57367060269165e-05×R²
    0.000191749999999935×9.57367060269165e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.57367060269165e-05×40589641000000     		ar = 785943.217471578m²