Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123989 / 25674
↖ ↑ ↗
← N 73.167946°
E160.545959°		 ← 88.44 m → N 73.167946°
E160.548706°		 →
↑
88.43 m
↓
↑
88.43 m
↓
N 73.167150°
E160.545959°		 ← 88.45 m →
7 821 m²		 N 73.167150°
E160.548706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945964813232422 y=0.195880889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945964813232422 × 217)
    floor (0.945964813232422 × 131072)
    floor (123989.5)     		tx = 123989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195880889892578 × 217)
    floor (0.195880889892578 × 131072)
    floor (25674.5)     		ty = 25674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123989 / 25674 ti = "17/123989/25674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123989/25674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123989 ÷ 217
    123989 ÷ 131072     		x = 0.945960998535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25674 ÷ 217
    25674 ÷ 131072     		y = 0.195877075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945960998535156 × 2 - 1) × π
    0.891921997070312 × 3.1415926535     		Λ = 2.80205559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195877075195312 × 2 - 1) × π
    0.608245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91086069265468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80205559} λ = 2.80205559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91086069265468))-π/2
    2×atan(6.75890363449091)-π/2
    2×1.42390894390635-π/2
    2.8478178878127-1.57079632675     		φ = 1.27702156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80205559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.545959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27702156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.167946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123989 KachelY 25674 2.80205559 1.27702156 160.545959 73.167946
    Oben rechts KachelX + 1 123990 KachelY 25674 2.80210353 1.27702156 160.548706 73.167946
    Unten links KachelX 123989 KachelY + 1 25675 2.80205559 1.27700768 160.545959 73.167150
    Unten rechts KachelX + 1 123990 KachelY + 1 25675 2.80210353 1.27700768 160.548706 73.167150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27702156-1.27700768) × R
    1.38799999997996e-05 × 6371000     		dl = 88.4294799987233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27702156-1.27700768) × R
    1.38799999997996e-05 × 6371000     		dr = 88.4294799987233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80205559-2.80210353) × cos(1.27702156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289567326432685 × 6371000     		do = 88.4413149554665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80205559-2.80210353) × cos(1.27700768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289580611752948 × 6371000     		du = 88.4453726342389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27702156)-sin(1.27700768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289567326432685-0.289580611752948)×R²
    abs(2.80210353-2.80205559)×1.32853202628458e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32853202628458e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32853202628458e-05×40589641000000     		ar = 7820.99890127455m²