Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123987 / 26041
↖ ↑ ↗
← N 72.873593°
E160.540466°		 ← 89.94 m → N 72.873593°
E160.543213°		 →
↑
89.96 m
↓
↑
89.96 m
↓
N 72.872784°
E160.540466°		 ← 89.95 m →
8 091 m²		 N 72.872784°
E160.543213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945949554443359 y=0.198680877685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945949554443359 × 217)
    floor (0.945949554443359 × 131072)
    floor (123987.5)     		tx = 123987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198680877685547 × 217)
    floor (0.198680877685547 × 131072)
    floor (26041.5)     		ty = 26041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123987 / 26041 ti = "17/123987/26041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123987/26041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123987 ÷ 217
    123987 ÷ 131072     		x = 0.945945739746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26041 ÷ 217
    26041 ÷ 131072     		y = 0.198677062988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945945739746094 × 2 - 1) × π
    0.891891479492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.80195972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198677062988281 × 2 - 1) × π
    0.602645874023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.89326785049412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80195972} λ = 2.80195972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89326785049412))-π/2
    2×atan(6.64103517040106)-π/2
    2×1.42134023220889-π/2
    2.84268046441779-1.57079632675     		φ = 1.27188414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80195972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.540466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27188414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.873593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123987 KachelY 26041 2.80195972 1.27188414 160.540466 72.873593
    Oben rechts KachelX + 1 123988 KachelY 26041 2.80200766 1.27188414 160.543213 72.873593
    Unten links KachelX 123987 KachelY + 1 26042 2.80195972 1.27187002 160.540466 72.872784
    Unten rechts KachelX + 1 123988 KachelY + 1 26042 2.80200766 1.27187002 160.543213 72.872784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27188414-1.27187002) × R
    1.41200000001174e-05 × 6371000     		dl = 89.9585200007478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27188414-1.27187002) × R
    1.41200000001174e-05 × 6371000     		dr = 89.9585200007478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80195972-2.80200766) × cos(1.27188414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294480804368047 × 6371000     		do = 89.942017589847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80195972-2.80200766) × cos(1.27187002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.294494298221102 × 6371000     		du = 89.9461389599019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27188414)-sin(1.27187002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294480804368047-0.294494298221102)×R²
    abs(2.80200766-2.80195972)×1.34938530554907e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34938530554907e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34938530554907e-05×40589641000000     		ar = 8091.23616458357m²