Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123981 / 25671
↖ ↑ ↗
← N 73.170332°
E160.523987°		 ← 88.43 m → N 73.170332°
E160.526734°		 →
↑
88.43 m
↓
↑
88.43 m
↓
N 73.169536°
E160.523987°		 ← 88.43 m →
7 820 m²		 N 73.169536°
E160.526734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945903778076172 y=0.195858001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945903778076172 × 217)
    floor (0.945903778076172 × 131072)
    floor (123981.5)     		tx = 123981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195858001708984 × 217)
    floor (0.195858001708984 × 131072)
    floor (25671.5)     		ty = 25671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123981 / 25671 ti = "17/123981/25671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123981/25671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123981 ÷ 217
    123981 ÷ 131072     		x = 0.945899963378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25671 ÷ 217
    25671 ÷ 131072     		y = 0.195854187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945899963378906 × 2 - 1) × π
    0.891799926757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.80167210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195854187011719 × 2 - 1) × π
    0.608291625976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.91100450335354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80167210} λ = 2.80167210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91100450335354))-π/2
    2×atan(6.75987570704165)-π/2
    2×1.4239297639131-π/2
    2.8478595278262-1.57079632675     		φ = 1.27706320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80167210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.523987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27706320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.170332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123981 KachelY 25671 2.80167210 1.27706320 160.523987 73.170332
    Oben rechts KachelX + 1 123982 KachelY 25671 2.80172004 1.27706320 160.526734 73.170332
    Unten links KachelX 123981 KachelY + 1 25672 2.80167210 1.27704932 160.523987 73.169536
    Unten rechts KachelX + 1 123982 KachelY + 1 25672 2.80172004 1.27704932 160.526734 73.169536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27706320-1.27704932) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dl = 88.4294800001379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27706320-1.27704932) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dr = 88.4294800001379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80167210-2.80172004) × cos(1.27706320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289527470137188 × 6371000     		do = 88.4291418169205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80167210-2.80172004) × cos(1.27704932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289540755624803 × 6371000     		du = 88.4331995468065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27706320)-sin(1.27704932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289527470137188-0.289540755624803)×R²
    abs(2.80172004-2.80167210)×1.32854876146449e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32854876146449e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32854876146449e-05×40589641000000     		ar = 7819.92243936095m²