Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123976 / 25800
↖ ↑ ↗
← N 73.067446°
E160.510254°		 ← 88.95 m → N 73.067446°
E160.513000°		 →
↑
89 m
↓
↑
89 m
↓
N 73.066645°
E160.510254°		 ← 88.96 m →
7 917 m²		 N 73.066645°
E160.513000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945865631103516 y=0.196842193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945865631103516 × 217)
    floor (0.945865631103516 × 131072)
    floor (123976.5)     		tx = 123976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196842193603516 × 217)
    floor (0.196842193603516 × 131072)
    floor (25800.5)     		ty = 25800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123976 / 25800 ti = "17/123976/25800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123976/25800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123976 ÷ 217
    123976 ÷ 131072     		x = 0.94586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25800 ÷ 217
    25800 ÷ 131072     		y = 0.19683837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94586181640625 × 2 - 1) × π
    0.8917236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80143241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19683837890625 × 2 - 1) × π
    0.6063232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90482064330255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80143241} λ = 2.80143241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90482064330255))-π/2
    2×atan(6.71820256494531)-π/2
    2×1.4230319111429-π/2
    2.84606382228581-1.57079632675     		φ = 1.27526750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80143241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27526750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.067446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123976 KachelY 25800 2.80143241 1.27526750 160.510254 73.067446
    Oben rechts KachelX + 1 123977 KachelY 25800 2.80148035 1.27526750 160.513000 73.067446
    Unten links KachelX 123976 KachelY + 1 25801 2.80143241 1.27525353 160.510254 73.066645
    Unten rechts KachelX + 1 123977 KachelY + 1 25801 2.80148035 1.27525353 160.513000 73.066645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27526750-1.27525353) × R
    1.39699999999188e-05 × 6371000     		dl = 89.0028699994825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27526750-1.27525353) × R
    1.39699999999188e-05 × 6371000     		dr = 89.0028699994825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80143241-2.80148035) × cos(1.27526750) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291245792056504 × 6371000     		do = 88.9539615606854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80143241-2.80148035) × cos(1.27525353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291259156404241 × 6371000     		du = 88.9580433764826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27526750)-sin(1.27525353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291245792056504-0.291259156404241)×R²
    abs(2.80148035-2.80143241)×1.33643477370771e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33643477370771e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33643477370771e-05×40589641000000     		ar = 7917.33952352935m²