Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123975 / 25673
↖ ↑ ↗
← N 73.168741°
E160.507508°		 ← 88.42 m → N 73.168741°
E160.510254°		 →
↑
88.43 m
↓
↑
88.43 m
↓
N 73.167946°
E160.507508°		 ← 88.42 m →
7 819 m²		 N 73.167946°
E160.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945858001708984 y=0.195873260498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945858001708984 × 217)
    floor (0.945858001708984 × 131072)
    floor (123975.5)     		tx = 123975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195873260498047 × 217)
    floor (0.195873260498047 × 131072)
    floor (25673.5)     		ty = 25673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123975 / 25673 ti = "17/123975/25673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123975/25673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123975 ÷ 217
    123975 ÷ 131072     		x = 0.945854187011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25673 ÷ 217
    25673 ÷ 131072     		y = 0.195869445800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945854187011719 × 2 - 1) × π
    0.891708374023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.80138448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195869445800781 × 2 - 1) × π
    0.608261108398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.9109086295543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80138448} λ = 2.80138448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9109086295543))-π/2
    2×atan(6.7592276431419)-π/2
    2×1.42391588422704-π/2
    2.84783176845407-1.57079632675     		φ = 1.27703544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80138448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.507508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27703544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.168741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123975 KachelY 25673 2.80138448 1.27703544 160.507508 73.168741
    Oben rechts KachelX + 1 123976 KachelY 25673 2.80143241 1.27703544 160.510254 73.168741
    Unten links KachelX 123975 KachelY + 1 25674 2.80138448 1.27702156 160.507508 73.167946
    Unten rechts KachelX + 1 123976 KachelY + 1 25674 2.80143241 1.27702156 160.510254 73.167946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27703544-1.27702156) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dl = 88.4294800001379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27703544-1.27702156) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dr = 88.4294800001379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80138448-2.80143241) × cos(1.27703544) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.289554041056636 × 6371000     		do = 88.4188097718118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80138448-2.80143241) × cos(1.27702156) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.289567326432685 × 6371000     		du = 88.4228666212116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27703544)-sin(1.27702156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289554041056636-0.289567326432685)×R²
    abs(2.80143241-2.80138448)×1.32853760494989e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32853760494989e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32853760494989e-05×40589641000000     		ar = 7819.00874296773m²