Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123974 / 25953
↖ ↑ ↗
← N 72.944626°
E160.504761°		 ← 89.58 m → N 72.944626°
E160.507508°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
N 72.943820°
E160.504761°		 ← 89.58 m →
8 024 m²		 N 72.943820°
E160.507508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945850372314453 y=0.198009490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945850372314453 × 217)
    floor (0.945850372314453 × 131072)
    floor (123974.5)     		tx = 123974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198009490966797 × 217)
    floor (0.198009490966797 × 131072)
    floor (25953.5)     		ty = 25953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123974 / 25953 ti = "17/123974/25953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123974/25953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123974 ÷ 217
    123974 ÷ 131072     		x = 0.945846557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25953 ÷ 217
    25953 ÷ 131072     		y = 0.198005676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945846557617188 × 2 - 1) × π
    0.891693115234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80133654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198005676269531 × 2 - 1) × π
    0.603988647460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.89748629766068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80133654} λ = 2.80133654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89748629766068))-π/2
    2×atan(6.66910919917013)-π/2
    2×1.42196010759251-π/2
    2.84392021518501-1.57079632675     		φ = 1.27312389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80133654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.504761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27312389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.944626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123974 KachelY 25953 2.80133654 1.27312389 160.504761 72.944626
    Oben rechts KachelX + 1 123975 KachelY 25953 2.80138448 1.27312389 160.507508 72.944626
    Unten links KachelX 123974 KachelY + 1 25954 2.80133654 1.27310983 160.504761 72.943820
    Unten rechts KachelX + 1 123975 KachelY + 1 25954 2.80138448 1.27310983 160.507508 72.943820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27312389-1.27310983) × R
    1.40599999998159e-05 × 6371000     		dl = 89.576259998827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27312389-1.27310983) × R
    1.40599999998159e-05 × 6371000     		dr = 89.576259998827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80133654-2.80138448) × cos(1.27312389) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293295802111051 × 6371000     		do = 89.5800873986026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80133654-2.80138448) × cos(1.27310983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.293309243747762 × 6371000     		du = 89.584192820442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27312389)-sin(1.27310983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293295802111051-0.293309243747762)×R²
    abs(2.80138448-2.80133654)×1.34416367114643e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.34416367114643e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.34416367114643e-05×40589641000000     		ar = 8024.43307377151m²