Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123972 / 25676
↖ ↑ ↗
← N 73.166355°
E160.499268°		 ← 88.43 m → N 73.166355°
E160.502014°		 →
↑
88.43 m
↓
↑
88.43 m
↓
N 73.165560°
E160.499268°		 ← 88.44 m →
7 820 m²		 N 73.165560°
E160.502014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945835113525391 y=0.195896148681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945835113525391 × 217)
    floor (0.945835113525391 × 131072)
    floor (123972.5)     		tx = 123972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195896148681641 × 217)
    floor (0.195896148681641 × 131072)
    floor (25676.5)     		ty = 25676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123972 / 25676 ti = "17/123972/25676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123972/25676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123972 ÷ 217
    123972 ÷ 131072     		x = 0.945831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25676 ÷ 217
    25676 ÷ 131072     		y = 0.195892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945831298828125 × 2 - 1) × π
    0.89166259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80124067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195892333984375 × 2 - 1) × π
    0.60821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91076481885544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80124067} λ = 2.80124067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91076481885544))-π/2
    2×atan(6.75825566378297)-π/2
    2×1.42389506230962-π/2
    2.84779012461924-1.57079632675     		φ = 1.27699380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80124067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.499268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27699380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.166355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123972 KachelY 25676 2.80124067 1.27699380 160.499268 73.166355
    Oben rechts KachelX + 1 123973 KachelY 25676 2.80128860 1.27699380 160.502014 73.166355
    Unten links KachelX 123972 KachelY + 1 25677 2.80124067 1.27697992 160.499268 73.165560
    Unten rechts KachelX + 1 123973 KachelY + 1 25677 2.80128860 1.27697992 160.502014 73.165560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27699380-1.27697992) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dl = 88.4294800001379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27699380-1.27697992) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dr = 88.4294800001379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80124067-2.80128860) × cos(1.27699380) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.289593897017422 × 6371000     		do = 88.4309802689052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80124067-2.80128860) × cos(1.27697992) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.289607182226105 × 6371000     		du = 88.4350370671975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27699380)-sin(1.27697992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289593897017422-0.289607182226105)×R²
    abs(2.80128860-2.80124067)×1.32852086825452e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32852086825452e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32852086825452e-05×40589641000000     		ar = 7820.08497148218m²