Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123972 / 25660
↖ ↑ ↗
← N 73.179077°
E160.499268°		 ← 88.37 m → N 73.179077°
E160.502014°		 →
↑
88.37 m
↓
↑
88.37 m
↓
N 73.178282°
E160.499268°		 ← 88.37 m →
7 809 m²		 N 73.178282°
E160.502014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945835113525391 y=0.195774078369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945835113525391 × 217)
    floor (0.945835113525391 × 131072)
    floor (123972.5)     		tx = 123972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195774078369141 × 217)
    floor (0.195774078369141 × 131072)
    floor (25660.5)     		ty = 25660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123972 / 25660 ti = "17/123972/25660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123972/25660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123972 ÷ 217
    123972 ÷ 131072     		x = 0.945831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25660 ÷ 217
    25660 ÷ 131072     		y = 0.195770263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945831298828125 × 2 - 1) × π
    0.89166259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80124067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195770263671875 × 2 - 1) × π
    0.60845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.91153180924936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80124067} λ = 2.80124067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91153180924936))-π/2
    2×atan(6.76344116931902)-π/2
    2×1.4240060794229-π/2
    2.8480121588458-1.57079632675     		φ = 1.27721583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80124067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.499268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27721583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.179077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123972 KachelY 25660 2.80124067 1.27721583 160.499268 73.179077
    Oben rechts KachelX + 1 123973 KachelY 25660 2.80128860 1.27721583 160.502014 73.179077
    Unten links KachelX 123972 KachelY + 1 25661 2.80124067 1.27720196 160.499268 73.178282
    Unten rechts KachelX + 1 123973 KachelY + 1 25661 2.80128860 1.27720196 160.502014 73.178282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27721583-1.27720196) × R
    1.38700000000824e-05 × 6371000     		dl = 88.3657700005251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27721583-1.27720196) × R
    1.38700000000824e-05 × 6371000     		dr = 88.3657700005251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80124067-2.80128860) × cos(1.27721583) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.289381373953288 × 6371000     		do = 88.3660837946191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80124067-2.80128860) × cos(1.27720196) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.289394650482028 × 6371000     		du = 88.3701379423867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27721583)-sin(1.27720196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289381373953288-0.289394650482028)×R²
    abs(2.80128860-2.80124067)×1.32765287405578e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32765287405578e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32765287405578e-05×40589641000000     		ar = 7808.71616050197m²