Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123971 / 25669
↖ ↑ ↗
← N 73.171922°
E160.496521°		 ← 88.42 m → N 73.171922°
E160.499268°		 →
↑
88.43 m
↓
↑
88.43 m
↓
N 73.171127°
E160.496521°		 ← 88.43 m →
7 819 m²		 N 73.171127°
E160.499268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945827484130859 y=0.195842742919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945827484130859 × 217)
    floor (0.945827484130859 × 131072)
    floor (123971.5)     		tx = 123971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195842742919922 × 217)
    floor (0.195842742919922 × 131072)
    floor (25669.5)     		ty = 25669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123971 / 25669 ti = "17/123971/25669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123971/25669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123971 ÷ 217
    123971 ÷ 131072     		x = 0.945823669433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25669 ÷ 217
    25669 ÷ 131072     		y = 0.195838928222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945823669433594 × 2 - 1) × π
    0.891647338867188 × 3.1415926535     		Λ = 2.80119273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195838928222656 × 2 - 1) × π
    0.608322143554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.91110037715278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80119273} λ = 2.80119273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91110037715278))-π/2
    2×atan(6.76052383307673)-π/2
    2×1.42394364232552-π/2
    2.84788728465105-1.57079632675     		φ = 1.27709096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80119273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.496521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27709096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.171922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123971 KachelY 25669 2.80119273 1.27709096 160.496521 73.171922
    Oben rechts KachelX + 1 123972 KachelY 25669 2.80124067 1.27709096 160.499268 73.171922
    Unten links KachelX 123971 KachelY + 1 25670 2.80119273 1.27707708 160.496521 73.171127
    Unten rechts KachelX + 1 123972 KachelY + 1 25670 2.80124067 1.27707708 160.499268 73.171127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27709096-1.27707708) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dl = 88.4294800001379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27709096-1.27707708) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dr = 88.4294800001379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80119273-2.80124067) × cos(1.27709096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289500898994625 × 6371000     		do = 88.4210263060406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80119273-2.80124067) × cos(1.27707708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289514184593795 × 6371000     		du = 88.4250840699983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27709096)-sin(1.27707708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289500898994625-0.289514184593795)×R²
    abs(2.80124067-2.80119273)×1.32855991695768e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32855991695768e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32855991695768e-05×40589641000000     		ar = 7819.204790524m²