Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123971 / 25537
↖ ↑ ↗
← N 73.276563°
E160.496521°		 ← 87.89 m → N 73.276563°
E160.499268°		 →
↑
87.92 m
↓
↑
87.92 m
↓
N 73.275772°
E160.496521°		 ← 87.89 m →
7 727 m²		 N 73.275772°
E160.499268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945827484130859 y=0.194835662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945827484130859 × 217)
    floor (0.945827484130859 × 131072)
    floor (123971.5)     		tx = 123971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194835662841797 × 217)
    floor (0.194835662841797 × 131072)
    floor (25537.5)     		ty = 25537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123971 / 25537 ti = "17/123971/25537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123971/25537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123971 ÷ 217
    123971 ÷ 131072     		x = 0.945823669433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25537 ÷ 217
    25537 ÷ 131072     		y = 0.194831848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945823669433594 × 2 - 1) × π
    0.891647338867188 × 3.1415926535     		Λ = 2.80119273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194831848144531 × 2 - 1) × π
    0.610336303710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.91742804790263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80119273} λ = 2.80119273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91742804790263))-π/2
    2×atan(6.80343783162811)-π/2
    2×1.42485680683157-π/2
    2.84971361366314-1.57079632675     		φ = 1.27891729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80119273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.496521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27891729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.276563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123971 KachelY 25537 2.80119273 1.27891729 160.496521 73.276563
    Oben rechts KachelX + 1 123972 KachelY 25537 2.80124067 1.27891729 160.499268 73.276563
    Unten links KachelX 123971 KachelY + 1 25538 2.80119273 1.27890349 160.496521 73.275772
    Unten rechts KachelX + 1 123972 KachelY + 1 25538 2.80124067 1.27890349 160.499268 73.275772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27891729-1.27890349) × R
    1.38000000000638e-05 × 6371000     		dl = 87.9198000004062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27891729-1.27890349) × R
    1.38000000000638e-05 × 6371000     		dr = 87.9198000004062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80119273-2.80124067) × cos(1.27891729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.287752294728889 × 6371000     		do = 87.8869575542114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80119273-2.80124067) × cos(1.27890349) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.287765511028687 × 6371000     		du = 87.8909941523572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27891729)-sin(1.27890349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287752294728889-0.287765511028687)×R²
    abs(2.80124067-2.80119273)×1.32162997976137e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32162997976137e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32162997976137e-05×40589641000000     		ar = 7727.18117951557m²