Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123970 / 25670
↖ ↑ ↗
← N 73.171127°
E160.493774°		 ← 88.43 m → N 73.171127°
E160.496521°		 →
↑
88.43 m
↓
↑
88.43 m
↓
N 73.170332°
E160.493774°		 ← 88.43 m →
7 820 m²		 N 73.170332°
E160.496521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945819854736328 y=0.195850372314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945819854736328 × 217)
    floor (0.945819854736328 × 131072)
    floor (123970.5)     		tx = 123970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195850372314453 × 217)
    floor (0.195850372314453 × 131072)
    floor (25670.5)     		ty = 25670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123970 / 25670 ti = "17/123970/25670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123970/25670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123970 ÷ 217
    123970 ÷ 131072     		x = 0.945816040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25670 ÷ 217
    25670 ÷ 131072     		y = 0.195846557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945816040039062 × 2 - 1) × π
    0.891632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80114479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195846557617188 × 2 - 1) × π
    0.608306884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.91105244025316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80114479} λ = 2.80114479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91105244025316))-π/2
    2×atan(6.76019976229191)-π/2
    2×1.42393670327851-π/2
    2.84787340655702-1.57079632675     		φ = 1.27707708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80114479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.493774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27707708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.171127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123970 KachelY 25670 2.80114479 1.27707708 160.493774 73.171127
    Oben rechts KachelX + 1 123971 KachelY 25670 2.80119273 1.27707708 160.496521 73.171127
    Unten links KachelX 123970 KachelY + 1 25671 2.80114479 1.27706320 160.493774 73.170332
    Unten rechts KachelX + 1 123971 KachelY + 1 25671 2.80119273 1.27706320 160.496521 73.170332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27707708-1.27706320) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dl = 88.4294800001379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27707708-1.27706320) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dr = 88.4294800001379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80114479-2.80119273) × cos(1.27707708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289514184593795 × 6371000     		do = 88.4250840699983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80114479-2.80119273) × cos(1.27706320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289527470137188 × 6371000     		du = 88.4291418169205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27707708)-sin(1.27706320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289514184593795-0.289527470137188)×R²
    abs(2.80119273-2.80114479)×1.32855433934154e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32855433934154e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32855433934154e-05×40589641000000     		ar = 7819.56361548256m²