Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12397 / 20695
↖ ↑ ↗
← S 42.738944°
W 43.802491°		 ← 897.24 m → S 42.738944°
W 43.791504°		 →
↑
897.16 m
↓
↑
897.16 m
↓
S 42.747012°
W 43.802491°		 ← 897.12 m →
804 917 m²		 S 42.747012°
W 43.791504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378341674804688 y=0.631576538085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378341674804688 × 215)
    floor (0.378341674804688 × 32768)
    floor (12397.5)     		tx = 12397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631576538085938 × 215)
    floor (0.631576538085938 × 32768)
    floor (20695.5)     		ty = 20695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12397 / 20695 ti = "15/12397/20695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12397/20695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12397 ÷ 215
    12397 ÷ 32768     		x = 0.378326416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20695 ÷ 215
    20695 ÷ 32768     		y = 0.631561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378326416015625 × 2 - 1) × π
    -0.24334716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76449768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631561279296875 × 2 - 1) × π
    -0.26312255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.826623897048248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76449768} λ = -0.76449768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826623897048248))-π/2
    2×atan(0.437523921463557)-π/2
    2×0.412430519764195-π/2
    0.824861039528389-1.57079632675     		φ = -0.74593529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76449768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.802491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74593529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.738944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12397 KachelY 20695 -0.76449768 -0.74593529 -43.802491 -42.738944
    Oben rechts KachelX + 1 12398 KachelY 20695 -0.76430593 -0.74593529 -43.791504 -42.738944
    Unten links KachelX 12397 KachelY + 1 20696 -0.76449768 -0.74607611 -43.802491 -42.747012
    Unten rechts KachelX + 1 12398 KachelY + 1 20696 -0.76430593 -0.74607611 -43.791504 -42.747012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74593529--0.74607611) × R
    0.00014081999999993 × 6371000     		dl = 897.164219999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74593529--0.74607611) × R
    0.00014081999999993 × 6371000     		dr = 897.164219999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76449768--0.76430593) × cos(-0.74593529) × R
    0.000191749999999935 × 0.734453480703751 × 6371000     		do = 897.237199326516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76449768--0.76430593) × cos(-0.74607611) × R
    0.000191749999999935 × 0.734357904656667 × 6371000     		du = 897.120439876038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74593529)-sin(-0.74607611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734453480703751-0.734357904656667)×R²
    abs(-0.76430593--0.76449768)×9.55760470844336e-05×R²
    0.000191749999999935×9.55760470844336e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.55760470844336e-05×40589641000000     		ar = 804916.737217486m²