Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123969 / 25969
↖ ↑ ↗
← N 72.931732°
E160.491028°		 ← 89.63 m → N 72.931732°
E160.493774°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
N 72.930926°
E160.491028°		 ← 89.63 m →
8 034 m²		 N 72.930926°
E160.493774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945812225341797 y=0.198131561279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945812225341797 × 217)
    floor (0.945812225341797 × 131072)
    floor (123969.5)     		tx = 123969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198131561279297 × 217)
    floor (0.198131561279297 × 131072)
    floor (25969.5)     		ty = 25969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123969 / 25969 ti = "17/123969/25969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123969/25969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123969 ÷ 217
    123969 ÷ 131072     		x = 0.945808410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25969 ÷ 217
    25969 ÷ 131072     		y = 0.198127746582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945808410644531 × 2 - 1) × π
    0.891616821289062 × 3.1415926535     		Λ = 2.80109686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198127746582031 × 2 - 1) × π
    0.603744506835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.89671930726676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80109686} λ = 2.80109686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89671930726676))-π/2
    2×atan(6.66399601760959)-π/2
    2×1.42184758881378-π/2
    2.84369517762756-1.57079632675     		φ = 1.27289885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80109686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.491028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27289885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.931732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123969 KachelY 25969 2.80109686 1.27289885 160.491028 72.931732
    Oben rechts KachelX + 1 123970 KachelY 25969 2.80114479 1.27289885 160.493774 72.931732
    Unten links KachelX 123969 KachelY + 1 25970 2.80109686 1.27288478 160.491028 72.930926
    Unten rechts KachelX + 1 123970 KachelY + 1 25970 2.80114479 1.27288478 160.493774 72.930926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27289885-1.27288478) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dl = 89.6399699998545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27289885-1.27288478) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dr = 89.6399699998545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80109686-2.80114479) × cos(1.27289885) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293510937815516 × 6371000     		do = 89.6270957986047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80109686-2.80114479) × cos(1.27288478) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.293524388083376 × 6371000     		du = 89.6312029997024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27289885)-sin(1.27288478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293510937815516-0.293524388083376)×R²
    abs(2.80114479-2.80109686)×1.34502678596493e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.34502678596493e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.34502678596493e-05×40589641000000     		ar = 8034.35426351403m²