Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123969 / 25791
↖ ↑ ↗
← N 73.074643°
E160.491028°		 ← 88.90 m → N 73.074643°
E160.493774°		 →
↑
88.88 m
↓
↑
88.88 m
↓
N 73.073844°
E160.491028°		 ← 88.90 m →
7 901 m²		 N 73.073844°
E160.493774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945812225341797 y=0.196773529052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945812225341797 × 217)
    floor (0.945812225341797 × 131072)
    floor (123969.5)     		tx = 123969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196773529052734 × 217)
    floor (0.196773529052734 × 131072)
    floor (25791.5)     		ty = 25791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123969 / 25791 ti = "17/123969/25791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123969/25791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123969 ÷ 217
    123969 ÷ 131072     		x = 0.945808410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25791 ÷ 217
    25791 ÷ 131072     		y = 0.196769714355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945808410644531 × 2 - 1) × π
    0.891616821289062 × 3.1415926535     		Λ = 2.80109686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196769714355469 × 2 - 1) × π
    0.606460571289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.90525207539913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80109686} λ = 2.80109686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90525207539913))-π/2
    2×atan(6.72110163849487)-π/2
    2×1.42309472457167-π/2
    2.84618944914333-1.57079632675     		φ = 1.27539312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80109686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.491028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27539312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.074643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123969 KachelY 25791 2.80109686 1.27539312 160.491028 73.074643
    Oben rechts KachelX + 1 123970 KachelY 25791 2.80114479 1.27539312 160.493774 73.074643
    Unten links KachelX 123969 KachelY + 1 25792 2.80109686 1.27537917 160.491028 73.073844
    Unten rechts KachelX + 1 123970 KachelY + 1 25792 2.80114479 1.27537917 160.493774 73.073844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27539312-1.27537917) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dl = 88.8754500002569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27539312-1.27537917) × R
    1.39500000000403e-05 × 6371000     		dr = 88.8754500002569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80109686-2.80114479) × cos(1.27539312) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291125615604725 × 6371000     		do = 88.8987089661129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80109686-2.80114479) × cos(1.27537917) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.291138961329864 × 6371000     		du = 88.9027842438331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27539312)-sin(1.27537917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291125615604725-0.291138961329864)×R²
    abs(2.80114479-2.80109686)×1.33457251386138e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.33457251386138e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.33457251386138e-05×40589641000000     		ar = 7901.09385998136m²