Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123967 / 25665
↖ ↑ ↗
← N 73.175102°
E160.485535°		 ← 88.40 m → N 73.175102°
E160.488281°		 →
↑
88.37 m
↓
↑
88.37 m
↓
N 73.174307°
E160.485535°		 ← 88.41 m →
7 812 m²		 N 73.174307°
E160.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945796966552734 y=0.195812225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945796966552734 × 217)
    floor (0.945796966552734 × 131072)
    floor (123967.5)     		tx = 123967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195812225341797 × 217)
    floor (0.195812225341797 × 131072)
    floor (25665.5)     		ty = 25665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123967 / 25665 ti = "17/123967/25665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123967/25665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123967 ÷ 217
    123967 ÷ 131072     		x = 0.945793151855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25665 ÷ 217
    25665 ÷ 131072     		y = 0.195808410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945793151855469 × 2 - 1) × π
    0.891586303710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.80100098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195808410644531 × 2 - 1) × π
    0.608383178710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.91129212475126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80100098} λ = 2.80100098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91129212475126))-π/2
    2×atan(6.76182027157671)-π/2
    2×1.42397139532985-π/2
    2.84794279065971-1.57079632675     		φ = 1.27714646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80100098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.485535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27714646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.175102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123967 KachelY 25665 2.80100098 1.27714646 160.485535 73.175102
    Oben rechts KachelX + 1 123968 KachelY 25665 2.80104892 1.27714646 160.488281 73.175102
    Unten links KachelX 123967 KachelY + 1 25666 2.80100098 1.27713259 160.485535 73.174307
    Unten rechts KachelX + 1 123968 KachelY + 1 25666 2.80104892 1.27713259 160.488281 73.174307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27714646-1.27713259) × R
    1.38700000000824e-05 × 6371000     		dl = 88.3657700005251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27714646-1.27713259) × R
    1.38700000000824e-05 × 6371000     		dr = 88.3657700005251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80100098-2.80104892) × cos(1.27714646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289447775184112 × 6371000     		do = 88.4048009269032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80100098-2.80104892) × cos(1.27713259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289461051434383 × 6371000     		du = 88.4088558354665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27714646)-sin(1.27713259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289447775184112-0.289461051434383)×R²
    abs(2.80104892-2.80100098)×1.3276250270533e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.3276250270533e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.3276250270533e-05×40589641000000     		ar = 7812.13746339708m²