Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123965 / 25659
↖ ↑ ↗
← N 73.179871°
E160.480042°		 ← 88.36 m → N 73.179871°
E160.482788°		 →
↑
88.37 m
↓
↑
88.37 m
↓
N 73.179077°
E160.480042°		 ← 88.37 m →
7 808 m²		 N 73.179077°
E160.482788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945781707763672 y=0.195766448974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945781707763672 × 217)
    floor (0.945781707763672 × 131072)
    floor (123965.5)     		tx = 123965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195766448974609 × 217)
    floor (0.195766448974609 × 131072)
    floor (25659.5)     		ty = 25659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123965 / 25659 ti = "17/123965/25659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123965/25659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123965 ÷ 217
    123965 ÷ 131072     		x = 0.945777893066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25659 ÷ 217
    25659 ÷ 131072     		y = 0.195762634277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945777893066406 × 2 - 1) × π
    0.891555786132812 × 3.1415926535     		Λ = 2.80090511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195762634277344 × 2 - 1) × π
    0.608474731445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.91157974614898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80090511} λ = 2.80090511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91157974614898))-π/2
    2×atan(6.76376539549057)-π/2
    2×1.42401301528666-π/2
    2.84802603057332-1.57079632675     		φ = 1.27722970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80090511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.480042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27722970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.179871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123965 KachelY 25659 2.80090511 1.27722970 160.480042 73.179871
    Oben rechts KachelX + 1 123966 KachelY 25659 2.80095304 1.27722970 160.482788 73.179871
    Unten links KachelX 123965 KachelY + 1 25660 2.80090511 1.27721583 160.480042 73.179077
    Unten rechts KachelX + 1 123966 KachelY + 1 25660 2.80095304 1.27721583 160.482788 73.179077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27722970-1.27721583) × R
    1.38699999998604e-05 × 6371000     		dl = 88.3657699991105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27722970-1.27721583) × R
    1.38699999998604e-05 × 6371000     		dr = 88.3657699991105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80090511-2.80095304) × cos(1.27722970) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.289368097368877 × 6371000     		do = 88.362029629852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80090511-2.80095304) × cos(1.27721583) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.289381373953288 × 6371000     		du = 88.3660837946191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27722970)-sin(1.27721583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289368097368877-0.289381373953288)×R²
    abs(2.80095304-2.80090511)×1.32765844106375e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32765844106375e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32765844106375e-05×40589641000000     		ar = 7808.35791170407m²