Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123963 / 25657
↖ ↑ ↗
← N 73.181461°
E160.474548°		 ← 88.37 m → N 73.181461°
E160.477295°		 →
↑
88.43 m
↓
↑
88.43 m
↓
N 73.180666°
E160.474548°		 ← 88.38 m →
7 815 m²		 N 73.180666°
E160.477295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945766448974609 y=0.195751190185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945766448974609 × 217)
    floor (0.945766448974609 × 131072)
    floor (123963.5)     		tx = 123963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195751190185547 × 217)
    floor (0.195751190185547 × 131072)
    floor (25657.5)     		ty = 25657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123963 / 25657 ti = "17/123963/25657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123963/25657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123963 ÷ 217
    123963 ÷ 131072     		x = 0.945762634277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25657 ÷ 217
    25657 ÷ 131072     		y = 0.195747375488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945762634277344 × 2 - 1) × π
    0.891525268554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.80080923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195747375488281 × 2 - 1) × π
    0.608505249023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.91167561994822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80080923} λ = 2.80080923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91167561994822))-π/2
    2×atan(6.76441389446274)-π/2
    2×1.42402688605944-π/2
    2.84805377211887-1.57079632675     		φ = 1.27725745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80080923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.474548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27725745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.181461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123963 KachelY 25657 2.80080923 1.27725745 160.474548 73.181461
    Oben rechts KachelX + 1 123964 KachelY 25657 2.80085717 1.27725745 160.477295 73.181461
    Unten links KachelX 123963 KachelY + 1 25658 2.80080923 1.27724357 160.474548 73.180666
    Unten rechts KachelX + 1 123964 KachelY + 1 25658 2.80085717 1.27724357 160.477295 73.180666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27725745-1.27724357) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dl = 88.4294800001379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27725745-1.27724357) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dr = 88.4294800001379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80080923-2.80085717) × cos(1.27725745) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289341534460795 × 6371000     		do = 88.372352275366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80080923-2.80085717) × cos(1.27724357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.289354820728798 × 6371000     		du = 88.3764102436026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27725745)-sin(1.27724357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289341534460795-0.289354820728798)×R²
    abs(2.80085717-2.80080923)×1.32862680030099e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.32862680030099e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.32862680030099e-05×40589641000000     		ar = 7814.90058019642m²