Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 123962 / 25662
↖ ↑ ↗
← N 73.177487°
E160.471802°		 ← 88.37 m → N 73.177487°
E160.474548°		 →
↑
88.43 m
↓
↑
88.43 m
↓
N 73.176692°
E160.471802°		 ← 88.38 m →
7 815 m²		 N 73.176692°
E160.474548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945758819580078 y=0.195789337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945758819580078 × 217)
    floor (0.945758819580078 × 131072)
    floor (123962.5)     		tx = 123962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195789337158203 × 217)
    floor (0.195789337158203 × 131072)
    floor (25662.5)     		ty = 25662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123962 / 25662 ti = "17/123962/25662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123962/25662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123962 ÷ 217
    123962 ÷ 131072     		x = 0.945755004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25662 ÷ 217
    25662 ÷ 131072     		y = 0.195785522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945755004882812 × 2 - 1) × π
    0.891510009765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80076130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195785522460938 × 2 - 1) × π
    0.608428955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91143593545012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80076130} λ = 2.80076130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91143593545012))-π/2
    2×atan(6.76279276360123)-π/2
    2×1.42399220674057-π/2
    2.84798441348114-1.57079632675     		φ = 1.27718809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80076130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.471802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27718809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.177487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123962 KachelY 25662 2.80076130 1.27718809 160.471802 73.177487
    Oben rechts KachelX + 1 123963 KachelY 25662 2.80080923 1.27718809 160.474548 73.177487
    Unten links KachelX 123962 KachelY + 1 25663 2.80076130 1.27717421 160.471802 73.176692
    Unten rechts KachelX + 1 123963 KachelY + 1 25663 2.80080923 1.27717421 160.474548 73.176692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27718809-1.27717421) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dl = 88.4294800001379m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27718809-1.27717421) × R
    1.38800000000217e-05 × 6371000     		dr = 88.4294800001379m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80076130-2.80080923) × cos(1.27718809) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.289407926955096 × 6371000     		do = 88.3741920731538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80076130-2.80080923) × cos(1.27717421) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.289421212944506 × 6371000     		du = 88.3782491098508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27718809)-sin(1.27717421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289407926955096-0.289421212944506)×R²
    abs(2.80080923-2.80076130)×1.32859894106385e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32859894106385e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32859894106385e-05×40589641000000     		ar = 7815.06323130837m²