Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12396 / 20133
↖ ↑ ↗
← S 38.039439°
W 43.813476°		 ← 962.10 m → S 38.039439°
W 43.802491°		 →
↑
962.08 m
↓
↑
962.08 m
↓
S 38.048091°
W 43.813476°		 ← 961.98 m →
925 564 m²		 S 38.048091°
W 43.802491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378311157226562 y=0.614425659179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378311157226562 × 215)
    floor (0.378311157226562 × 32768)
    floor (12396.5)     		tx = 12396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614425659179688 × 215)
    floor (0.614425659179688 × 32768)
    floor (20133.5)     		ty = 20133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12396 / 20133 ti = "15/12396/20133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12396/20133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12396 ÷ 215
    12396 ÷ 32768     		x = 0.3782958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20133 ÷ 215
    20133 ÷ 32768     		y = 0.614410400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3782958984375 × 2 - 1) × π
    -0.243408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76468942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614410400390625 × 2 - 1) × π
    -0.22882080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.718861746702362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76468942} λ = -0.76468942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.718861746702362))-π/2
    2×atan(0.487306618763242)-π/2
    2×0.453441436268803-π/2
    0.906882872537606-1.57079632675     		φ = -0.66391345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76468942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.813476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66391345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.039439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12396 KachelY 20133 -0.76468942 -0.66391345 -43.813476 -38.039439
    Oben rechts KachelX + 1 12397 KachelY 20133 -0.76449768 -0.66391345 -43.802491 -38.039439
    Unten links KachelX 12396 KachelY + 1 20134 -0.76468942 -0.66406446 -43.813476 -38.048091
    Unten rechts KachelX + 1 12397 KachelY + 1 20134 -0.76449768 -0.66406446 -43.802491 -38.048091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66391345--0.66406446) × R
    0.000151009999999951 × 6371000     		dl = 962.084709999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66391345--0.66406446) × R
    0.000151009999999951 × 6371000     		dr = 962.084709999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76468942--0.76449768) × cos(-0.66391345) × R
    0.000191739999999996 × 0.787586786083817 × 6371000     		do = 962.096753507182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76468942--0.76449768) × cos(-0.66406446) × R
    0.000191739999999996 × 0.787493724176684 × 6371000     		du = 961.983071357723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66391345)-sin(-0.66406446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787586786083817-0.787493724176684)×R²
    abs(-0.76449768--0.76468942)×9.30619071328742e-05×R²
    0.000191739999999996×9.30619071328742e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.30619071328742e-05×40589641000000     		ar = 925563.891919135m²