Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 123944 / 25832
↖ ↑ ↗
← N 73.041829°
E160.422363°		 ← 89.08 m → N 73.041829°
E160.425110°		 →
↑
89.07 m
↓
↑
89.07 m
↓
N 73.041028°
E160.422363°		 ← 89.09 m →
7 935 m²		 N 73.041028°
E160.425110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 123944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945621490478516 y=0.197086334228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945621490478516 × 217)
    floor (0.945621490478516 × 131072)
    floor (123944.5)     		tx = 123944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197086334228516 × 217)
    floor (0.197086334228516 × 131072)
    floor (25832.5)     		ty = 25832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 123944 / 25832 ti = "17/123944/25832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/123944/25832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 123944 ÷ 217
    123944 ÷ 131072     		x = 0.94561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25832 ÷ 217
    25832 ÷ 131072     		y = 0.19708251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94561767578125 × 2 - 1) × π
    0.8912353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79989843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19708251953125 × 2 - 1) × π
    0.6058349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90328666251471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79989843} λ = 2.79989843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90328666251471))-π/2
    2×atan(6.70790487153307)-π/2
    2×1.42280836443721-π/2
    2.84561672887442-1.57079632675     		φ = 1.27482040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79989843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.422363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27482040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.041829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 123944 KachelY 25832 2.79989843 1.27482040 160.422363 73.041829
    Oben rechts KachelX + 1 123945 KachelY 25832 2.79994637 1.27482040 160.425110 73.041829
    Unten links KachelX 123944 KachelY + 1 25833 2.79989843 1.27480642 160.422363 73.041028
    Unten rechts KachelX + 1 123945 KachelY + 1 25833 2.79994637 1.27480642 160.425110 73.041028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27482040-1.27480642) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dl = 89.0665800005099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27482040-1.27480642) × R
    1.398000000008e-05 × 6371000     		dr = 89.0665800005099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79989843-2.79994637) × cos(1.27482040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291673480368404 × 6371000     		do = 89.0845885798369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79989843-2.79994637) × cos(1.27480642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.291686852460785 × 6371000     		du = 89.0886727610477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27482040)-sin(1.27480642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291673480368404-0.291686852460785)×R²
    abs(2.79994637-2.79989843)×1.33720923810587e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33720923810587e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33720923810587e-05×40589641000000     		ar = 7934.64151771641m²